Площадь фигуры

Пло́щадь плоской фигуры в аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.

Об определении

Формальное введение понятия площадь и объём можно найти в статье мера Жордана, здесь мы приводим лишь намётки определения с комментариями.

Площадь в это вещественнозначная функция, определённая на определённом классе фигур евклидовой плоскости, такая что:

1. (положительность) площадь неотрицательна;
2. (нормировка) квадрат со стороной единица имеет площадь 1;
3. конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;
4. (аддитивность) площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей.

Определённый класс должен быть замкнут относительно пересечения и объединения, а также относительно движений плоскости и включать в себя все многоугольники. Из этих аксиом следует монотонность площади, то есть

• Если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не превосходит площади второй:

Чаще всего за «определённый класс» берут множество квадрируемых фигур. Фигура $F$ называется квадрируемой, если для любого $\varepsilon>0$ существует пара многоугольников $P$ и $Q$, такие что $P\subset F\subset Q$ и $S(Q)-S(P)<\varepsilon$, где $S(P)$ обозначает площадь $P$.

Связанные определения

• Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равную площадь.

Комментарии

На самом деле, есть довольно неестественный и неоднозначный способ определить площадь для всех ограниченных подмножеств плоскости. На множестве всех ограниченных подмножеств плоскости существуют различные функции площади, т. е. не равные функции, удовлетворяющие вышеприведённым аксиомам, а множество квадрируемых фигур является максимальным множеством фигур, на которых функционал площади определяется однозначно.

То же самое можно сделать для длины на прямой, но нельзя для объёма в евклидовом пространстве и также нельзя для площади на единичной сфере в евклидовом пространстве, (смотри соответственно парадокс Банаха в Тарского и парадокс Хаусдорфа).

Формулы для нахождения площадей различных фигур

Фигура	Формула	Комментарий
Правильный треугольник	$\tfrac14\sqrt{3}a^2\,\!$	$a$ в длина стороны треугольника.
Треугольник	$\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\,\!$	Формула Герона. $p$ в полупериметр, $a$, $b$ и $c$ в длины сторон треугольника.
Треугольник	$\tfrac12 a b \sin(\alpha)\,\!$	$a$ и $b$ в две стороны треугольника, а $\alpha$ в угол между ними.
Треугольник	$\tfrac12bh \,\!$	$b$ и $h$ в сторона треугольника и высота, проведённая к этой стороне.
Квадрат	$a^2\,\!$	$a$ в длина стороны квадрата.
Прямоугольник	$ab \,\!$	$a$ и $b$ в длины сторон прямоугольника.
Ромб	$\tfrac12ab$	$a$ и $b$ в длины диагоналей ромба.
Параллелограмм	$bh\,\!$	$b$ в длина одной из сторон параллелограмма, а $h$ в высота, проведённая к этой стороне.
Трапеция	$\tfrac12(a+b)h \,\!$	$a$ и $b$ в длины параллельных сторон, а $h$ в расстояние между ними (высота).
Правильный шестиугольник	$\tfrac32\sqrt{3}a^2\,\!$	$a$ в длина стороны шестиугольника.
Правильный восьмиугольник	$2\left(1+\sqrt{2}\right)a^2\,\!$	$a$ в длина стороны восьмиугольника.
Правильный многоугольник	$\frac{na^2} {4 \cdot \tan(\pi/n)}\,\!$	$a$ в длина стороны многоугольника, а $n$ в количество сторон многоугольника.
	$\tfrac12a p \,\!$	$a$ в апофема (или радиус вписанной в многоугольник окружности), а $p$ в периметр многоугольника.
Круг	$\pi r^2$ или $\frac{\pi d^2}{4} \,\!$	$r$ в радиус окружности, а $d$ в её диаметр.
Сектор круга	$\tfrac12 r^2 \theta \,\!$	$r$ и $\theta$ в соответственно радиус и угол сектора (в радианах).
Эллипс	$\pi ab \,\!$	$a$ и $b$ в большая и малая полуоси эллипса.
Поверхность Цилиндра	$2\pi r (r + h)\,\!$	$r$ и $h$ в радиус и высота цилиндра соответственно.
Боковая поверхность цилиндра	$2 \pi r h \,\!$	$r$ и $h$ в радиус и высота цилиндра соответственно.
Поверхность конуса	$\pi r (r + l) \,\!$	$r$ и $l$ в радиус и длина образующей соответственно.
Боковая поверхность конуса	$\pi r l \,\!$	$r$ и $l$ в радиус и длина образующей соответственно.
Поверхность сферы	$4\pi r^2\ \text{,}\ \pi d^2\,\!$	$r$ и $d$ в радиус и диаметр соответственно.
Поверхность эллипсоида		См. статью.

• Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

  $S = \frac{1}{2}ah$

• Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон:

  $S = ab$

• Площадь произвольного четырехугольника ABCD равна половине произведения диагоналей и синуса угла между ними:

  $S_{ABCD}= \frac{1}{2} AC\cdot BD\cdot\sin \beta$,

где $\beta$ в угол между диагоналями.

• Площадь ромба ABCD равна половине произведения диагоналей:

  $S_{ABCD}= \frac{1}{2} AC\cdot BD$

• Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне: $S = ah$

• Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

  $S= \frac{a+b}{2}\cdot h$

См. также

• Площадь
• Мера Бореля
• Мера Жордана
• Мера Лебега
• Ориентированная площадь
• Площадь поверхности
• Теорема Бойяи в Гервина о равносоставленности равновеликих многоугольников
• Исчезновение клетки

Ссылки

• В.Болтянский, О понятиях площади и объёма. Квант, в„– 5, 1977
• Б. П. Гейдман, Площади многоугольников, Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 16, (2002).
• В. А. Рохлин, Площадь и объём, Энциклопедия элементарной математики, Книга 5, Геометрия, под редакцией П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина.