Порядковое число

Порядковое число, или трансфинитное число, или ординал в теории множеств в некоторое обобщение понятия натурального числа «за пределы бесконечности». Впервые введены Георгом Кантором в 1897 году с целью классификации вполне упорядоченных множеств. Играют ключевую роль в доказательстве многих теорем теории множеств, в особенности в связи со связанным с ними принципом трансфинитной индукции.

Содержание

1 Определение
2 Свойства
3 Арифметика порядковых чисел
- 3.1 Определения операций
- 3.2 Свойства операций
4 См. также
5 Литература

[править] Определение

Порядковые числа допускают различные варианты в том или ином смысле эквивалентных определений. Одна из современных формулировок определения порядкового числа по фон Нейману выглядит следующим образом:

Назовём множество $x$ транзитивным, если каждый элемент $x$ является подмножеством $x$ : $\mathrm{Trans}(x)\Leftrightarrow\forall t(t\in x\to t\subseteq x)$ .
Удовлетворяющее аксиоме фундирования множество называется ординалом, или порядковым числом, если оно само и каждый его элемент транзитивны: $\mathrm{Ord}(x)\Leftrightarrow\mathrm{Trans}(x)\wedge\forall t(t\in x\to\mathrm{Trans}(t))$ .

Заметим, что аксиома фундирования существенно используется в этом определении, что необходимо учитывать при работе с аксиоматическими системами, отличными от системы Цермело в Френкеля.

Для обозначения порядковых чисел обычно используются строчные греческие буквы $\alpha, \beta, \dots.$ Данная статья придерживается таких обозначений.

[править] Свойства

Если $\alpha$ в порядковое число, то каждый элемент $\alpha$ в порядковое число.
Для любых $\alpha, \beta$ выполняется ровно одно из следующих соотношений: $\alpha \in \beta, \alpha = \beta, \beta \in \alpha.$
Любое множество порядковых чисел вполне упорядочено отношением $\in$ (в частности, любое порядковое число, рассматриваемое как множество, вполне упорядочено отношением $\in$ ), при этом $\bigcap x$ в наименьший элемент множества $x$ , $\bigcup x$ в порядковое число, большее или равное любому из элементов множества $x$ . Выражения $\alpha < \beta$ и $\alpha \in \beta$ для порядковых чисел эквивалентны. Ниже подразумевается, что порядковые числа сравниваются с помощью отношения $\in.$
Для любого вполне упорядоченного множества $x$ существует единственное порядковое число, изоморфное $x$ (в частности, для любого множества порядковых чисел существует единственное порядковое число, изоморфное ему).
Любое $\alpha$ совпадает с множеством всех порядковых чисел, меньших, чем $\alpha$ .
Начальный сегмент любого порядкового числа является порядковым числом.
Пустое множество $\varnothing$ в наименьшее порядковое число (а значит, оно является элементом любого другого порядкового числа).
$\alpha$ называется регулярным (синоним: непредельным), если либо оно равно $\varnothing$ , либо существует непосредственно предшествующее ему $\beta;$ другими словами, если существует $\beta < \alpha,$ но между ними нельзя вставить другое порядковое число $\beta < \gamma < \alpha.$ В последнем случае говорят, что $\alpha$ в порядковое число, следующее за $\beta$ , и пишут: $\alpha = \beta \dot+ 1$ (иногда просто $\alpha = \beta + 1,$ что оказывается согласованным с обозначением для суммы порядковых чисел).
Порядковые числа, не являющиеся непредельными, называются предельными порядковыми числами (иногда $\varnothing$ тоже относят к предельным порядковым числам).
$\alpha \dot+ 1 = \alpha\cup\{\alpha\}.$
Множество всех конечных порядковых чисел изоморфно множеству неотрицательных целых чисел, и для них используются такие же обозначения, как для целых чисел. При этом операции сложения, умножения и возведения в степень для порядковых чисел переходят в соответствующие операции для целых чисел. Несколько первых порядковых чисел:

$\begin{align} &0=\varnothing;\\ &1=\{0\}=0\cup\{0\}=\{\varnothing\};\\ &2=\{0,1\}=1\cup\{1\}=\{\varnothing,\{\varnothing\}\};\\ &3=\{0,1,2\}=2\cup\{2\}=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\};\\ &\dots \end{align}$

Множество всех конечных порядковых чисел обозначается $\omega.$ Оно является наименьшим предельным порядковым числом и наименьшим бесконечным (а именно счётным) порядковым числом. Следующим за ним порядковым числом является $\omega \dot+ 1 = \omega\cup\{\omega\}.$
Условие конечности $\alpha$ можно записать как $\alpha < \omega$ или, что то же самое, $\alpha \in \omega.$
Существует бесконечное множество порядковых чисел, но не существует множества всех порядковых чисел. Иначе говоря, совокупность всех порядковых чисел является собственно классом.
Каждое множество порядковых чисел $A$ ограничено сверху и имеет точную верхнюю грань, которая обозначается $\sup A.$ При этом $A \subseteq \sup A.$
Если $\alpha$ в предельное порядковое число или $\varnothing$ , то $\sup \alpha = \alpha,$ иначе $\sup \alpha < \alpha.$
Точная верхняя грань счётного множества счётных порядковых чисел счётна.
Каждое порядковое число имеет единственное представление в нормальной форме Кантора (англ.).

[править] Арифметика порядковых чисел

[править] Определения операций

Сумма порядковых чисел рекурсивно определяется следующим образом:

$\begin{align} &\alpha + 0 = \alpha\\ &\alpha + (\beta \dot+ 1) = (\alpha + \beta) \dot+ 1\\ &\alpha + \gamma = \sup \{ \alpha + \beta | \beta < \gamma \}, \end{align}$

где третье правило применяется в случае, когда $\gamma$ является предельным порядковым числом.

Используя те же обозначения, определим операцию умножения:

$\begin{align} &\alpha \cdot 0 = 0\\ &\alpha \cdot (\beta \dot+ 1) = \alpha \cdot \beta + \alpha\\ &\alpha \cdot \gamma = \sup \{ \alpha \cdot \beta \mid \beta < \gamma \}. \end{align}$

Используя те же обозначения, определим операцию возведения в степень:

$\begin{align} &\alpha^0 = 1\\ &\alpha^{\beta \dot+ 1} = \alpha^\beta \cdot \alpha\\ &\alpha^\gamma = \sup \{ \alpha^\beta \mid \beta < \gamma \}. \end{align}$

[править] Свойства операций

Сложение порядковых чисел некоммутативно; в частности, $1 + \omega = \omega \ne \omega + 1.$
Сложение порядковых чисел ассоциативно: $\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma,\,$ что позволяет записывать сумму нескольких слагаемых без скобок.
Сумма возрастает при росте правого слагаемого и не убывает при росте левого слагаемого: из $\beta_1 > \beta_2\,$ следует $\alpha + \beta_1 > \alpha + \beta_2\,$ и $\beta_1 + \alpha \geqslant \beta_2 + \alpha.$
Если $\alpha \geqslant \beta,$ то существует единственный ординал $\,\gamma$ , для которого $\beta + \gamma = \alpha.\,$
Умножение порядковых чисел некоммутативно; в частности, $2 \cdot \omega = \omega \ne \omega \cdot 2.$
Умножение порядковых чисел ассоциативно: $\alpha \cdot (\beta \cdot \gamma)=(\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma,$ что позволяет записывать произведение нескольких сомножителей без скобок.
Для сложения и умножения выполняется левая дистрибутивность: $\alpha \cdot (\beta + \gamma) = \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \gamma.$
$\alpha + 0 = 0 + \alpha = \alpha.\,$
$\alpha + 1 = \alpha \dot+ 1.$
$\alpha \in \omega \leftrightarrow \alpha + \omega = \omega.$
$\alpha \cdot 0 = 0 \cdot \alpha = 0.$
$\alpha \cdot 1 = 1 \cdot \alpha = \alpha.$
$\alpha \in \omega \land \alpha \ne 0 \leftrightarrow \alpha \cdot \omega = \omega.$
$\alpha + \beta = 0 \leftrightarrow \alpha = 0 \land \beta = 0.$
$\alpha \cdot \beta = 0 \leftrightarrow \alpha = 0 \lor \beta = 0.$
$\alpha^0 = 1.\,$
$\alpha^1 = \alpha.\,$
$\alpha \ne 0 \leftrightarrow 0^\alpha = 0.$
$1^\alpha = 1.\,$
$\alpha \in \omega \land \alpha > 1 \leftrightarrow \alpha^\omega = \omega.$
$\alpha^\beta \cdot \alpha^\gamma = \alpha^{\beta + \gamma}.$
$(\alpha^\beta)^\gamma = \alpha^{\beta \cdot \gamma}.$
$\alpha > 1 \land \beta > \gamma \leftrightarrow \alpha^\beta > \alpha^\gamma.$
$\beta \in \omega \to \alpha + \beta = \alpha \underbrace{\dot+ 1 \dot+ 1 \dot+ \dots \dot+ 1}_\beta.$
$\beta \in \omega \to \alpha \cdot \beta = 0 \underbrace{+\alpha+\alpha+\dots+\alpha}_\beta.$
$\beta \in \omega \to \alpha^\beta = 1 \underbrace{\cdot \alpha \cdot \alpha \cdot \dots \cdot \alpha}_\beta.$
В случае конечности аргументов сложение, умножение и возведение в степень переходят в соответствующие операции для целых чисел (с конечными результатами).
В случае счётности аргументов результаты сложения, умножения и возведения в степень также являются счётными.

[править] См. также

Кардинальное число

[править] Литература

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Числовые системы
Счётные множества	Натуральные числа ( $\scriptstyle\mathbb{N}$ ) Целые ( $\scriptstyle\mathbb{Z}$ ) Рациональные ( $\scriptstyle\mathbb{Q}$ ) Алгебраические ( $\scriptstyle\overline{\mathbb{Q}}$ ) Периоды Вычислимые Арифметические
Вещественные числа и их расширения	Вещественные ( $\scriptstyle\mathbb{R}$ ) Комплексные ( $\scriptstyle\mathbb{C}$ ) Кватернионы ( $\scriptstyle\mathbb{H}$ ) Числа Кэли (октавы, октонионы) ( $\scriptstyle\mathbb{O}$ ) Седенионы ( $\scriptstyle\mathbb{S}$ ) Альтернионы Процедура Кэли в Диксона Дуальные Гиперкомплексные Суперреальные Гиперреальные Surreal number (англ.)
Другие числовые системы	Кардинальные числа Порядковые числа (трансфинитные, ординал) p-адические Супернатуральные числа
См. также	Двойные числа Иррациональные числа Трансцендентные Числовой луч Бикватернион

Порядковое число

Содержание

[править] Определение

[править] Свойства

[править] Арифметика порядковых чисел

[править] Определения операций

[править] Свойства операций

[править] См. также

[править] Литература

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках