Предикат

Предика́т (лат. praedicatum в заявленное, упомянутое, сказанное) в любое математическое высказывание, в котором есть, по меньшей мере, одна переменная. Предикат является основным объектом изучения логики первого порядка.

Определение

Предика́т (n-местный, или n-арный) в это функция с множеством значений $\{ 0,1 \}$ (или «ложь» и «истина»), определённая на множестве $M={{M}_{1}}\times {{M}_{2}}\times \ldots \times {{M}_{n}}$. Таким образом, каждый набор элементов множества M характеризуется либо как «истинный», либо как «ложный».

Предикат можно связать с математическим отношением: если n-ка принадлежит отношению, то предикат будет возвращать на ней 1. В частности, одноместный предикат определяет отношение принадлежности некоторому множеству.

Предикат в один из элементов логики первого и высших порядков. Начиная с логики второго порядка, в формулах можно ставить кванторы по предикатам.

Предикат называют тождественно-истинным и пишут:

$P\left ( x_1, ..., x_n \right) \equiv 1$

если на любом наборе аргументов он принимает значение 1.

Предикат называют тождественно-ложным и пишут:

$P\left ( x_1, ..., x_n \right) \equiv 0$

если на любом наборе аргументов он принимает значение 0.

Примеры

Например, обозначим предикатом EQ(x, y) отношение равенства («x = y»), где x и y принадлежат множеству вещественных чисел. В этом случае предикат EQ будет принимать истинное значение для всех равных x и y.

Более житейским примером может служить предикат ПРОЖИВАЕТ(x, y, z) для отношения «x проживает в городе y на улице z» или ЛЮБИТ(x, y) для «x любит y», где множество M в это множество всех людей.

Предикат в это то, что утверждается или отрицается о субъекте суждения.

x,y,z принадлежит R

Операции над предикатами

Предикаты, так же, как высказывания, принимают два значения истинное и ложное, поэтому к ним применимы все операции логики высказываний. Рассмотрим применение операций логики высказываний к предикатам на примерах одноместных предикатов.

Логические операции

Конъюнкцией двух предикатов А(х) и В(х) называется новый предикат $A\left( x \right)\wedge B\left( x \right)$, который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях х Т, при которых каждый из предикатов принимает значение «истина», и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях. Множеством истинности Т предиката А(х) В(х), х Х является пересечение множеств истинности предикатов А(х) Т1 и В(х) Т2, т.е. Т= Т1 ∩Т2. Например: А(х): «х четное число», В(х): « х кратно 3». А(х) В(х) «х четное число и х кратно 3». Т.е. предикат «х делится на 6».

Дизъюнкцией двух предикатов А(х) и В(х) называется новый предикат $A\left( x \right)\vee B\left( x \right)$, который принимает значение «ложь» при тех и только тех значениях х Т, при которых каждый из предикатов принимает значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях. Областью истинности предиката А(х) В(х) является объединение областей истинности предикатов А(х) В(х).

Отрицанием предиката А(х) называется новый предикат , который принимает значение «истина» при всех значениях х Т, при которых предикат А(х) принимает значение «ложь», и принимает значение «ложь», если А(х) принимает значение «истина». Множеством истинности предиката , х Х является дополнение Т' к множеству Т в множестве Х.

Импликацией предикатов А(х) и В(х) называется новый предикат А(х) В(х), который является ложным при тех и только тех значениях х Т, при которых А(х) принимает значение «истина», а В(х) значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях. Читают: «Если А(х), то В(х)». Например. А(х): «Натуральное число х делится на 3». В(х): «Натуральное число х делится на 4», можно составить предикат: «Если натуральное число х делится на 3, то оно делится и на 4». Множеством истинности предиката А(х) В(х) является объединение множества Т2 истинности предиката В(х) и дополнения к множеству Т1 истинности предиката А(х).

Кванторные операции

Квантор (все-)общности $\forall$

Квантор существования $\exists$

Квантор существования по переменной $x$₁

См. также

• Исчисление предикатов
• Предикат (лингвистика) в один из компонентов, выделяемый при логическом членении предложения
• Предикатив