Ïñàììèò

Ïñàììèò (äð.-ãðå÷. Ψαμμίτης) èëè Èñ÷èñëåíèå ïåñ÷èíîê â ðàáîòà äðåâíåãðå÷åñêîãî ó÷åíîãî Àðõèìåäà, â êîòîðîé îí ïûòàåòñÿ îïðåäåëèòü âåðõíþþ ãðàíü ÷èñëà ïåñ÷èíîê, êîòîðûå çàíèìàåò â ñâî¸ì îáú¸ìå Âñåëåííàÿ. Ñ ýòîé öåëüþ îí ïðîáóåò âû÷èñëèòü ðàçìåð Âñåëåííîé, îñíîâûâàÿñü íà àñòðîíîìè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèÿõ òîãî âðåìåíè, à òàêæå èçîáðåòàåò ñïîñîá íàèìåíîâàíèÿ î÷åíü áîëüøèõ ïàëëåòíûõ ÷èñåë. Ðàáîòà áûëà íàïèñàíà â âèäå ïèñüìà òèðàíó Ñèðàêóç Ãåëîíó.

Íàèìåíîâàíèå áîëüøèõ ïàëëåòíûõ ÷èñåë

Âî âðåìåíà Àðõèìåäà ÷èñëîâàÿ ñèñòåìà ìîãëà îïèñûâàòü ÷èñëà âïëîòü äî ìèðèàäû (10000), à òàêæå, èñïîëüçóÿ ýòè ÷èñëà äëÿ ïåðå÷èñëåíèÿ ìèðèàä, ìîæíî ðàñøèðèòü ýòó ñèñòåìó äëÿ íàèìåíîâàíèÿ ÷èñåë âïëîòü äî ìèðèàä ìèðèàä (10⁸). Àðõèìåä íàçâàë ÷èñëà äî 10⁸ «ïåðâûìè ÷èñëàìè», à 10⁸ íàçâàë «åäèíèöåé âòîðûõ ÷èñåë». Óìíîæåíèÿ ýòîé åäèíèöû íà ÷èñëà äî ìèðèàäû ìèðèàä ïîðîæäàþò «âòîðûå ÷èñëà» âïëîòü äî 10⁸10⁸=10¹⁶. 10¹⁶ ñòàëî «åäèíèöåé òðåòüèõ ÷èñåë», êîòîðàÿ òàêèì æå îáðàçîì ïîðîæäàëà òðåòüè ÷èñëà. Ïðîäîëæàÿ àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ, Àðõèìåä äîø¸ë äî ìèðèàäî-ìèðèàäíûõ ÷èñåë, òî åñòü äî $(10^8)^{(10^8)}=10^{8\cdot 10^8}$. Ïîñëå ýòîãî Àðõèìåä íàçâàë âñå ïðèâåäåííûå ÷èñëà «÷èñëàìè ïåðâîãî ïåðèîäà», à ïîñëåäíåå $10^{8\cdot 10^8}$ íàçâàë «åäèíèöåé âòîðîãî ïåðèîäà». Ïîñëå ýòîãî îí ïîñòðîèë ÷èñëà âòîðîãî ïåðèîäà, óìíîæàÿ ýòó åäèíèöó íà ÷èñëà ïåðâîãî ïåðèîäà. Ïðîäîëæàÿ òàêèì îáðàçîì ïîñòðîåíèÿ, Àðõèìåä ïðèø¸ë ê ÷èñëàì ìèðèàäî-ìèðèàäíîãî ïåðèîäà. Ñàìûì áîëüøèì ÷èñëîì, íàçâàííûì Àðõèìåäîì, ñòàëî ïîñëåäíåå ÷èñëî ýòîãî ïåðèîäà:

$((10^8)^{(10^8)})^{(10^8)}=10^{8\cdot 10^{16}}.$

Ïðèâåäåííàÿ Àðõèìåäîì ñèñòåìà ñòàëà â íåêîòîðîì ñìûñëå ïåðâîé â èñòîðèè ïîçèöèîííîé ñèñòåìîé ñ÷èñëåíèÿ, èìåâøåé ïðè ýòîì îñíîâàíèå 10⁸. Ñòîèò çàìåòèòü, ÷òî â òî âðåìÿ ãðåêè ïîëüçîâàëèñü ïðèìèòèâíîé ñèñòåìîé çàïèñè ÷èñåë, óïîòðåáëÿÿ äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ÷èñåë ðàçëè÷íûå áóêâû àëôàâèòà. Òàêæå Àðõèìåä ïðèâåë è äîêàçàë çàêîí ñëîæåíèÿ ïîêàçàòåëåé ñòåïåíè $10^a\cdot 10^b=10^{a+b}$.

Âû÷èñëåíèå ðàçìåðîâ Âñåëåííîé

×òîáû îïðåäåëèòü ÷èñëî ïåñ÷èíîê, ïîìåùàþùèõñÿ âî Âñåëåííîé, Àðõèìåäó íóæíî áûëî âû÷èñëèòü åå ðàçìåðû. Äëÿ ýòîãî îí èñïîëüçîâàë ãåëèîöåíòðè÷åñêóþ ìîäåëü ìèðà Àðèñòàðõà Ñàìîññêîãî. Ðàáîòà ñàìîãî Àðèñòàðõà áûëà óòåðÿíà è Ïñàììèò ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç íåìíîãèõ ïðîèçâåäåíèé, ññûëàþùèõñÿ íà ýòó òåîðèþ. Àðõèìåä îòìå÷àåò, ÷òî Àðèñòàðõ íå óêàçàë, íàñêîëüêî äàëåêî çâåçäû íàõîäÿòñÿ îò Çåìëè. Ñàì Àðõèìåä ñäåëàë ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî Âñåëåííàÿ ñôåðè÷åñêàÿ (çàêëþ÷åííàÿ â «ñôåðó óäàëåííûõ çâåçä»), è îòíîøåíèå äèàìåòðà âñåëåííîé ê äèàìåòðó îðáèòû Çåìëè âîêðóã Ñîëíöà ðàâíî îòíîøåíèþ äèàìåòðà îðáèòû Çåìëè âîêðóã Ñîëíöà ê äèàìåòðó Çåìëè. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåðõíåé ãðàíèöû ðàçìåðà Âñåëåííîé Àðõèìåä ñïåöèàëüíî çàâûøàë ñâîé îöåíêè. Îí ïðåäïîëîæèë, ÷òî äëèíà çåìíîé îêðóæíîñòè íå áîëåå 300 ìèðèàä ñòàäèé (îêîëî 500000 êì), õîòÿ îí è óêàçûâàåò, ÷òî íåêîòîðûå ó÷åíûå ïîëó÷èëè ðåçóëüòàò â 30 ìèðèàä ñòàäèé. Òàêæå Àðõèìåä ïðåäïîëîæèë, ÷òî Ëóíà íå áîëüøå Çåìëè, à Ñîëíöå íå áîëåå, ÷åì â òðèäöàòü ðàç áîëüøå Ëóíû, ïðè÷åì îí óêàçûâàåò, ÷òî Åâäîêñ è îòåö Àðõèìåäà Ôèäèé ïðèâîäèëè îöåíêó â 9 è 12 ðàç ñîîòâåòñòâåííî (â äåéñòâèòåëüíîñòè äèàìåòð Ñîëíöà â 109 ðàç áîëüøå äèàìåòðà Çåìëè è â 436 ðàç áîëüøå äèàìåòðà Ëóíû).

Äëÿ èçìåðåíèÿ óãëîâîãî äèàìåòðà Ñîëíöà (òî åñòü óãëà, êîòîðûé çàíèìàåò Ñîëíöå íà îêðóæíîñòè íåáåñíîé ñôåðû) Àðõèìåä ïðîâîäèë ýêñïåðèìåíò, âûïîëíÿâøèéñÿ íà ðàññâåòå, êîãäà ñâåò äîñòàòî÷íî ñëàá, ÷òîáû ìîæíî áûëî ñìîòðåòü ïðÿìî íà Ñîëíöå. Äëÿ ýòîãî îí ïðèêðåïëÿë ê êîíöó ëèíåéêè íåáîëüøîé öèëèíäð è îòäàëÿë åãî òàê, ÷òîáû îí êàê ðàç çàêðûâàë ñîáîþ Ñîëíöå. Ïðè ðàñ÷åòàõ Àðõèìåä ó÷èòûâàë ðàçìåð çðà÷êà è äåëàë ñïåöèàëüíûå èçìåðåíèÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè åãî.  ðåçóëüòàòå èçìåðåíèé áûëî ïîëó÷åíî, ÷òî óãëîâîé äèàìåòð Ñîëíöà áîëüøå 1/200 ÷àñòè ïðÿìîãî óãëà. Èç ýòîãî èçìåðåíèÿ Àðõèìåä ïîêàçûâàåò, ÷òî äèàìåòð Ñîëíöà áîëüøå ñòîðîíû âïèñàííîãî â íåáåñíóþ ñôåðó òûñÿ÷åóãîëüíèêà. Ïðè ýòîì îí âïåðâûå â èñòîðèè ðàññìàòðèâàåò ïàðàëëàêñ, çàìå÷àÿ ðàçëè÷èå ìåæäó íàáëþäåíèÿìè Ñîëíöà èç öåíòðà Çåìëè è ñ åå ïîâåðõíîñòè íà âîñõîäå.

Èç ïîëó÷åííûõ ïðåäïîñûëîê Àðõèìåä ïîäñ÷èòàë, ÷òî äèàìåòð Âñåëåííîé íå áîëåå 10¹⁴ ñòàäèé (îêîëî äâóõ ñâåòîâûõ ëåò). Òàêæå îí ïðåäïîëîæèë, ÷òî â îáú¸ìå ìàêîâîãî çåðíûøêà ïîìåùàåòñÿ íå áîëåå ìèðèàäû ïåñ÷èíîê, à äèàìåòð ìàêîâîãî çåðíûøêà íå ìåíåå ñîðîêîâîé ÷àñòè äþéìà.  èòîãå Àðõèìåä ïîêàçàë, ÷òî Âñåëåííàÿ ìîæåò ñîäåðæàòü â ñåáå íå áîëåå 10⁶³ ïåñ÷èíîê. Äëÿ ñðàâíåíèÿ â ñîâðåìåííàÿ îöåíêà ÷èñëà ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö â èçâåñòíîé íàì ÷àñòè Âñåëåííîé îò 10⁷⁹ äî 10⁸¹.

Ëèòåðàòóðà

• Àðõèìåä. Èñ÷èñëåíèå ïåñ÷èíîê (Ïñàììèò). â Ì.-Ë., 1932.
• Àðõèìåä: ñî÷èíåíèÿ (ïåðåâîä è êîììåíòàðèè È. Í. Âåñåëîâñêîãî). â Ì.: Ôèçìàòëèò, 1962