Распределение Пуассона

Распределение Пуассона

Функция вероятности
Функция распределения
Обозначение	$\mathrm{P}(\lambda)\!$
Параметры	$\lambda \in (0,\infty)$
Носитель	$k \in \{0,1,2,\ldots\}$
Функция вероятности	$\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\!$
Функция распределения	$\frac{\Gamma(k+1, \lambda)}{k!}\!$
Математическое ожидание	$\lambda\,$
Медиана	$\approx\lfloor\lambda+1/3-0.02/\lambda\rfloor$
Мода	$\lfloor\lambda\rfloor$
Дисперсия	$\lambda\,$
Коэффициент асимметрии	$\lambda^{-1/2}\,$
Коэффициент эксцесса	$\lambda^{-1}\,$
Информационная энтропия	$\lambda[1\!-\!\ln(\lambda)]\!+\!e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k\ln(k!)}{k!}$
Производящая функция моментов	$\exp(\lambda (e^t-1))\,$
Характеристическая функция	$\exp(\lambda (e^{it}-1))\,$

Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

Распределение Пуассона играет ключевую роль в теории массового обслуживания.

Определение

Выберем фиксированное число $\lambda > 0\!$ и определим дискретное распределение, задаваемое следующей функцией вероятности:

$p(k) \equiv \mathbb{P}(Y=k) = \frac{\lambda^k}{k!}\, e^{-\lambda}$,

где

• $k!\!$ обозначает факториал,
• $e = 2.718281828\ldots$ в основание натурального логарифма.

Тот факт, что случайная величина $Y\!$ имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda\!$, записывается: $Y \sim~ \mathrm{P}(\lambda)$.

Моменты

Производящая функция моментов распределения Пуассона имеет вид:

$E_Y(t)=e^{\lambda\left(e^t-1\right)}$,

откуда

$\mathbb{M}[Y]=\lambda$,

$\mathbb{D}[Y]=\lambda$.

Для факториальных моментов распределения справедлива общая формула:

$\mathbb{M}Y^{[k]}=\lambda^k$,

где $k=1,2,...\!$

А так как моменты и факториальные моменты линейным образом связаны, то часто для Пуассоновского распределения исследуются именно факториальные моменты, из которых при необходимости можно вывести и обычные моменты.

Свойства распределения Пуассона

• Сумма независимых пуассоновских случайных величин также имеет распределение Пуассона. Пусть $Y_i\sim\mathrm{P}(\lambda_i),\; i=1,\ldots,n$. Тогда

$Y = \sum\limits_{i=1}^n Y_i \sim \mathrm{P}\left(\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i\right)$.

• Пусть $Y_i \sim \mathrm{P}(\lambda_i),\; i=1,2$, и $Y = Y_1 + Y_2\!$. Тогда условное распределение $Y_1\!$ при условии, что $Y = y\!$, биномиально. Более точно:

$Y_1\mid Y = y \sim \mathrm{Bin}\left(y, \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\right)$.

История

Изначально распределение Пуассона было предложено для моделирования потока входящих телефонных звонков на коммутатор. Примеры других ситуаций, которые можно смоделировать, применив это распределение: поломки оборудования, длительность исполнения ремонтных работ стабильно работающим сотрудником, ошибка печати, рост колонии бактерий в чашке Петри, дефекты в длинной ленте или цепи и др..

См. также

• Биномиальное распределение;
• Пуассон, Симеон Дени.

Литература

• Вентцель Е. С., Овчаров Л. А., Теория вероятностей и ее инженерные приложения, М.: 2000, С. 135. в ISBN 978-5-406-00565-1.
• Ральф Винс Математика управления капиталом: Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров = The mathematics of money management risk analysis techniques for traders. в М.: «Альпина Паблишер», 2012. в 400 с. в ISBN 978-5-9614-1894-1