Релятивистская механика

Релятивистская механика в раздел физики, рассматривающий законы механики (законы движения тел и частиц) при скоростях, сравнимых со скоростью света. При скоростях значительно меньших скорости света переходит в классическую (ньютоновскую) механику.

Общие принципы

Релятивистская механика в теория, в которой, в отличие от классической механики, где пространственные координаты и время являются независимыми, при отсутствии голономных связей зависящих от времени, (время является абсолютным, то есть течёт одинаково во всех системах отсчёта) и действуют преобразования Галилея, события происходят в четырёхмерном пространстве, объединяющем физическое трёхмерное пространство и время (пространство Минковского) и действуют преобразования Лоренца. Таким образом, в отличие от классической механики, одновременность событий зависит от выбора системы отсчёта.

Основные законы релятивистской механики в релятивистское обобщение второго закона Ньютона и релятивистский закон сохранения энергии-импульса являются следствием такого «смешения» пространственных и временной координат при преобразованиях Лоренца.

Второй закон Ньютона в релятивистской механике

Сила определяется как $\vec F= \frac {d\vec p}{dt}$, также известно выражение для релятивисткого импульса

$\vec p = \frac{m \vec {v}}{ \sqrt{1-v^2/c^2}}$ (1).

Таким образом, для определения силы, достаточно взять производную от выражения (1), по времени, получим:

$\frac {d\vec {p}}{dt}=m\gamma\vec a +m\gamma^3[\vec{\beta} (\vec {\beta} \vec {a} )]$, где

$\vec{\beta}\equiv \frac {\vec{v}}{c}$

$\gamma \equiv \frac {1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$.

Таким образом, сравнивая с ньютоновым выражением $\vec{F}=m\vec{a}$, видно, что в релятивизме, кроме нормальной составляющей силы, также есть и тангенциальная.

Функция Лагранжа свободной частицы в релятивистской механике

Запишем интеграл действия, исходя из принципа наименьшего действия: $S= -\int\limits_{a}^{b}\alpha ds$, где $\alpha$-положительное число. Как известно из специальной теории относительности (СТО) $ds=c \sqrt{1-v^2/c^2}dt$, подставляя в интеграл движения, находим: $S=- \int\limits_{t_1}^{t_2} \alpha c \sqrt{1-v^2/c^2}dt$. Но, с другой стороны, интеграл движения, можно выразить через функцию Лагранжа: $S=\int\limits_{t_1}^{t_2}\mathcal{L}dt$. Сравнивая последние два выражения, нетрудно понять, что подынтегральные выражения должны быть равны, то есть:

$\mathcal{L}=- \alpha c \sqrt{1-v^2/c^2}$.

Далее, разложим последнее выражение по степеням $\frac{v}{c}$, получим:

$\mathcal{L}\simeq \alpha c + \frac{\alpha v^2}{2c}$, первый член разложения не зависит от скорости, а значит не вносит никаких изменений в уравнения движения. Тогда, сравнивая с классическим выражением функции Лагранжа: $\frac{m v^2}{2}$, нетрудно определить константу $\alpha$:

$\alpha = mc$. Таким образом, окончательно получаем вид функции Лагранжа свободной частицы:

$\mathcal{L}=-mc^2\sqrt{1-v^2/c^2}$.

Рассуждения, приведенные выше, можно рассматривать не только для частицы, но и для произвольного тела, лишь бы его части двигались как одно целое.

Релятивистская частица как неголономная система

Поскольку квадрат 4-вектора импульса $P_{\alpha}$ является постоянной величиной:

$P_{\alpha} P^{\alpha} - m^2 c^2=0,$

то релятивистская частица может рассматриваться как механическая система с неголономной связью в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве.

См. также

• Специальная теория относительности
• Теория относительности
• Релятивистски равноускоренное движение

Литература

• Паули В. Теория относительности. М.: Наука, 1991. 328 с.
• Принцип относительности. Сборник работ по специальной теории относительности. М.: Атомиздат, 1973.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. в Издание 3-е, переработанное. в М.: Физматгиз, 1960. в 512 с. в («Теоретическая физика», том II).
• Уиттекер Э. История теории эфира и электричества. Современные теории 1900в1926. Пер с англ. Москва, Ижевск: ИКИ, 2004. 464с. ISBN 5-93972-304-7 (Глава 2)

Разделы механики

 

Классическая механика   Специальная теория относительности   Теоретическая механика   Общая теория относительности   Релятивистская механика   Квантовая механика
Механика сплошных сред	Газодинамика   Гидродинамика   Гидростатика
Прикладная механика	Сопротивление материалов   Строительная механика   Небесная механика