Сигма-алгебра

σ-алгебра (си́гма-а́лгебра) в алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма-алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей.

Содержание

1 Определение
2 Замечания
3 Связанные определения
4 Примеры

[править] Определение

Семейство $\mathfrak{S}$ подмножеств множества $X$ называется σ-алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

$\mathfrak{S}$ содержит пустое множество.
Если $E\in \mathfrak{S}$ , то и его дополнение $X\backslash E\in\mathfrak{S}$ .
Объединение счётного подсемейства из $\mathfrak{S}$ также в $\mathfrak{S}$ .

[править] Замечания

Для любой системы множеств $\mathcal{S}$ существует минимальная сигма-алгебра $\sigma(\mathcal{S})$ , являющаяся её надмножеством.
Сигма-алгебры являются естественной областью определения счётно-аддитивных мер. Если мера определена частично (на семействе множеств $\mathcal{S}$ ) так, что выполнено условие сигма-аддитивности (синоним счётной аддитивности), эта частичная мера имеет единственное продолжение на $\sigma(\mathcal{S})$ , то есть на минимальную сигма-алгебру, это семейство содержащую, и при этом свойство сигма-аддитивности не нарушится.
σ-алгебра, порождённая случайной величиной $\xi:\,X\rightarrow \mathbb{R}$ , определяется следующим образом:

$\sigma(\xi) = \left\{\xi^{-1}(B)\mid B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\right\}$ ,

где $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ в борелевская сигма-алгебра на вещественной прямой. Это в минимальная сигма-алгебра на пространстве $X$ , относительно которой случайная величина $\xi$ всё ещё остаётся измеримой. Эта же конструкция применяется и в том случае, если на пространстве $X$ вообще не выделена никакая сигма-алгебра, в этом случае с помощью функции $\xi$ её можно ввести и наделить таким образом пространство $X$ структурой измеримого пространства, так что функция $\xi$ будет измеримой.

[править] Связанные определения

Измеримое пространство в это пара $(X, \mathcal F)$ , где $X$ в множество, а $\mathcal F$ в некоторая сигма-алгебра его подмножеств.

[править] Примеры

Борелевская сигма-алгебра
Для любого множества $X$ можно построить тривиа́льную σ-алгебру $\{X,\varnothing\}$ , где $\varnothing$ в пустое множество.
Для любого множества $X$ можно построить ещё одну тривиа́льную σ-алгебру, которая содержит все его подмножества.

Сигма-алгебра

Содержание

[править] Определение

[править] Замечания

[править] Связанные определения

[править] Примеры

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках