Спираль

Архимедова спираль

Спираль Ферма

Гиперболическая спираль

Логарифмическая спираль

В математике, спираль в это кривая, которая огибает некоторую центральную точку или ось, постепенно приближаясь или удаляясь от неё, в зависимости от направления обхода кривой.

Двухмерные спирали

Двухмерную спираль можно описать в полярных координатах, определив радиус r как непрерывную монотонную функцию от угла θ. Окружность можно считать вырожденным частным случаем спирали (функция не строго монотонна, а является константой).

Некоторые из наиболее важных типов двухмерных спиралей:

• Архимедова спираль:

  $~r(\theta) = a + b \theta~$;

• Спираль Ферма:

  $~r(\theta) = \theta^{\frac{1}{2}}~$;

• Гиперболическая спираль:

  $~r(\theta) = \frac{a}{\theta}~$;

• Логарифмическая спираль:

  $~r(\theta) = ae^{b\theta}~$;

• Спираль Фибоначчи (англ. Fibonacci spiral) и золотая спираль в частные случаи логарифмической спирали.

Трёхмерные спирали

Как и в двухмерном случае, r в непрерывную монотонную функцию от θ.

Для простых трёхмерных спиралей третья переменная h в также непрерывная монотонная функция от θ. Например, коническая винтовая линия может быть определена как спираль на конической поверхности с расстоянием от вершины как экспоненциальной функцией от θ.

Для сложных трёхмерных спиралей, как, например, сферическая спираль, h возрастает с ростом θ с одной стороны от точки и убывает в с другой.

Сферическая спираль

Сферическая спираль (локсодрома) в это кривая на сфере, пересекающая все меридианы под одним углом (не прямым). Эта кривая имеет бесконечное число витков. Расстояние между ними убывает по мере приближения к полюсам.

Тела, имеющие форму спирали

• Раковина у брюхоногих
• Цитоскелет эукариот
• Спираль в балансе механических часов
• Спиральная заводная пружина в механических часах и в заводных игрушках, спиральная пружина в стрелочных индикаторах магнитофонов, радиоприёмников, в измерительных головках магнитоэлектрических головок амперметров, вольтметров, омметров, тестеров и др.
• Циклон, Антициклон
• Спиральные галактики
• Коллаген в Фибриллярный белок с правозакрученной спиралью
• Рулон

Литература

• Cook, T., 1903. Spirals in nature and art. Nature 68 (1761), 296.
• Cook, T., 1979. The curves of life. Dover, New York.
• Habib, Z., Sakai, M., 2005. Spiral transition curves and their applications. Scientiae Mathematicae Japonicae 61 (2), 195 206.
• Dimulyo, S., Habib, Z., Sakai, M., 2009. Fair cubic transition between two circles with one circle inside or tangent to the other. Numerical Algorithms 51, 461476.
• Harary, G., Tal, A., 2011. The natural 3D spiral. Computer Graphics Forum 30 (2), 237 246.
• Xu, L., Mould, D., 2009. Magnetic curves: curvature-controlled aesthetic curves using magnetic пЃelds. In: Deussen, O., Hall, P. (Eds.), Computational Aesthetics in Graphics, Visualization, and Imaging. The Eurographics Association.
• Wang, Y., Zhao, B., Zhang, L., Xu, J., Wang, K., Wang, S., 2004. Designing fair curves using monotone curvature pieces. Computer Aided Geometric Design 21 (5), 515527.
• A. Kurnosenko. Applying inversion to construct planar, rational spirals that satisfy two-point G2 Hermite data. Computer Aided Geometric Design, 27(3), 262-280, 2010.
• A. Kurnosenko. Two-point G2 Hermite interpolation with spirals by inversion of hyperbola. Computer Aided Geometric Design, 27(6), 474-481, 2010.
• Miura, K.T., 2006. A general equation of aesthetic curves and its self-aпnity. Computer-Aided Design and Applications 3 (14), 457464.
• Miura, K., Sone, J., Yamashita, A., Kaneko, T., 2005. Derivation of a general formula of aesthetic curves. In: 8th International Conference on Humans and Computers (HC2005). Aizu-Wakamutsu, Japan, pp. 166 171.
• Meek, D., Walton, D., 1989. The use of Cornu spirals in drawing planar curves of controlled curvature. Journal of Computational and Applied Mathematics 25 (1), 6978.
• Farin, G., 2006. Class A Bézier curves. Computer Aided Geometric Design 23 (7), 573581.
• Farouki, R.T., 1997. Pythagorean-hodograph quintic transition curves of monotone curvature. Computer-Aided Design 29 (9), 601606.
• Yoshida, N., Saito, T., 2006. Interactive aesthetic curve segments. The Visual Computer 22 (9), 896905.
• Yoshida, N., Saito, T., 2007. Quasi-aesthetic curves in rational cubic Bézier forms. Computer-Aided Design and Applications 4 (910), 477486.
• Ziatdinov, R., Yoshida, N., Kim, T., 2012. Analytic parametric equations of log-aesthetic curves in terms of incomplete gamma functions. Computer Aided Geometric Design 29 (2), 129 140.
• Ziatdinov, R., 2012. Family of superspirals with completely monotonic curvature given in terms of Gauss hypergeometric function. Computer Aided Geometric Design, 10.1016/j.cagd.2012.03.006.

См. также

• Геликоид