Сфера

У этого термина существуют и другие значения, см. Сфера (значения).

сфера (каркасная проекция)

Сфе́ра (греч. σφαбї–ρα в мяч) в замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Площадь сферы в градусной мере с учетом непостоянства значения размеров дуг составляет 41252.96 кв. градусов.

Сфера является частным случаем эллипсоида, у которого все три оси (полуоси, радиусы) равны. Сфера является поверхностью шара.

Объёмы цилиндра, вписанной в него сферы, касающейся его основания, и двух конусов, имеющих общую вершину в центре основания и основания, равные основаниям цилиндра, находятся в соотношении 1:2:3^[1]

Содержание

1 Основные геометрические формулы
2 Сфера в трёхмерном пространстве
3 Геометрия на сфере
- 3.1 Расстояние между двумя точками на сфере
4 n-мерная сфера
5 См. также
6 Примечания

[править] Основные геометрические формулы

Площадь сферы: $S = \ 4\pi r^2 = \pi d^2.$

Объем шара, ограниченного сферой: $V = \frac{4}{3} \pi r^3.$

Площадь сегмента сферы: $s = \ 2 \pi r H = 2 \pi r^2 ( 1 - \cos ( \alpha ) )$ , где H в высота сегмента, а $\alpha$ в зенитный угол

[править] Сфера в трёхмерном пространстве

Уравнение

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 = R^2,$

где $(x_0,y_0,z_0)$ в координаты центра сферы, $R$ в её радиус.

Параметрическое уравнение сферы с центром в точке $(x_0,y_0,z_0)$ :

$\begin{cases} x = x_0 + R \cdot \sin \theta\cdot \cos \phi,\\ y = y_0 + R \cdot \sin \theta\cdot \sin \phi,\\ z = z_0 + R \cdot \cos \theta,\\ \end{cases}$

где $\theta \in [- \pi/2, \pi/2]$ и $\phi \in [0, 2\pi).$

[править] Геометрия на сфере

Основная статья: Сферическая геометрия

Окружность, лежащая на сфере, центр которой совпадает с центром сферы, называется большим кругом (большой окружностью) сферы. Большие круги являются геодезическими линиями на сфере; любые два из них пересекаются в двух точках.

[править] Расстояние между двумя точками на сфере

Если даны сферические координаты двух точек, то расстояние между ними можно найти так:

$L = R \cdot \arccos ( \cos \theta_1 \cdot \cos \theta_2 + \sin \theta_1 \cdot \sin \theta_2 \cdot \cos (\phi_1 - \phi_2) ).$

Однако, если угол $\theta$ задан не между осью Z и вектором на точку сферы, а между этим вектором и плоскостью XY (как это принято в земных координатах, заданных широтой и долготой), то формула будет такая:

$L = R \cdot \arccos ( \sin \theta_1 \cdot \sin \theta_2 + \cos \theta_1 \cdot \cos \theta_2 \cdot \cos (\phi_1 - \phi_2) ).$

В этом случае $\theta_1$ и $\theta_2$ называются широтами, а $\phi_1$ и $\phi_2$ долготами.

[править] n-мерная сфера

Основная статья: Гиперсфера

В общем случае уравнение (n-1)-мерной сферы (в n-мерном евклидовом пространстве) имеет вид:

$\sum_{i=1}^{n}(x_i-a_i)^2=r^2,$

где $(a_1,...,a_n)$ в центр сферы, а $r$ в радиус.

Пересечением двух n-мерных сфер является n-1-мерная сфера, лежащая на радикальной гиперплоскости этих сфер.

В n-мерном пространстве могут попарно касаться друг друга (в разных точках) не более n+1 сфер.

n-мерная инверсия переводит n-1-мерную сферу в n-1-мерную сферу или гиперплоскость.

[править] См. также

[править] Примечания

в‘ [100 человек, которые изменили ход истории. Еженедельное издание. Архимед (Выпуск в„– 12, 2008). Блестящий ум]

Это заготовка статьи по геометрии. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

[0] в‘ [100 человек, которые изменили ход истории. Еженедельное издание. Архимед (Выпуск в„– 12, 2008). Блестящий ум]

[1]

Сфера

Содержание

[править] Основные геометрические формулы

[править] Сфера в трёхмерном пространстве

[править] Геометрия на сфере

[править] Расстояние между двумя точками на сфере

[править] n-мерная сфера

[править] См. также

[править] Примечания

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках

	сфера в Энциклословаре^?
	Spheres на Энциклоскладе^?