Счётное множество

Не следует путать с перечислимым множеством.

В теории множеств, счётное мно́жество есть бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами. Более формально: множество $X$ является счётным, если существует биекция $X\leftrightarrow \mathbb{N}$ , где ${\mathbb N}$ обозначает множество всех натуральных чисел. Другими словами, счётное множество в это множество, равномощное множеству натуральных чисел.

Счётное множество является «наименьшим» бесконечным множеством, то есть в любом бесконечном множестве найдётся счётное подмножество. Мощность множества всех натуральных чисел обозначается символом $\alef_0$ (произносится: "алеф-нуль").

Содержание

1 Свойства
2 Связанные понятия
3 Примеры
- 3.1 Счётные множества
- 3.2 Несчётные множества
4 Примечания
5 См. также

[править] Свойства

Любое подмножество счётного множества не более чем счётно (т.е. конечно или счётно).^[1]
Объединение конечного или счётного числа счётных множеств счётно.^[1]
Прямое произведение конечного числа счётных множеств счётно.
Множество всех конечных подмножеств счётного множества счётно.
Множество всех подмножеств счётного множества континуально и, в частности, не является счётным.

[править] Связанные понятия

Несчётное множество в такое бесконечное множество, которое не является счётным. Таким образом, любое множество является либо конечным, либо счётным, либо несчётным.

[править] Примеры

[править] Счётные множества

Простые числа
Натуральные числа
Целые числа
Рациональные числа
Алгебраические числа
Кольцо периодов
Вычислимые числа
Арифметические числа
Множество всех конечных слов над конечным или счётным алфавитом
Любое бесконечное семейство непересекающихся открытых интервалов на действительной оси
Множество всех прямых на плоскости, каждая из которых содержит хотя бы 2 точки с рациональными координатами
Любое бесконечное множество точек на плоскости, все попарные расстояния между элементами которого рациональны

[править] Несчётные множества

[править] Примечания

в‘ ¹ ² В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. в 3-е изд., перераб. и доп. в М.: Проспект, 2006. в Т. 1. в С. 62 в 63. в 672 с. в ISBN 5-482-00445-7

[править] См. также

Мощность множества

[ilyin-0] в‘ ¹ ² В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. в 3-е изд., перераб. и доп. в М.: Проспект, 2006. в Т. 1. в С. 62 в 63. в 672 с. в ISBN 5-482-00445-7

[1]

Счётное множество

Содержание

[править] Свойства

[править] Связанные понятия

[править] Примеры

[править] Счётные множества

[править] Несчётные множества

[править] Примечания

[править] См. также

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках