Теорема Грина

Теорема Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутому контуру $C$ и двойным интегралом по области $D$ , ограниченной этим контуром. Фактически, эта теорема является частным случаем более общей теоремы Стокса. Теорема названа в честь английского математика Джорджа Грина.

[править] Формулировка

Пусть $C$ в положительно ориентированная кусочно-гладкая замкнутая кривая на плоскости, а $D$ в область, ограниченная кривой $C$ . Если функции $P = P(x,y)$ , $Q = Q(x,y)$ определены в области $D$ и имеют непрерывные частные производные $\frac{\partial P}{\partial y}$ , $\frac{\partial Q}{\partial x}$ , то

$\oint\limits_{C} P \,dx + Q \,dy = \iint\limits_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \,dx\,dy$

На символе интеграла часто рисуют окружность, чтобы подчеркнуть, что кривая $C$ замкнута.

[править] Доказательство

$D$ в область, правильная в направлении $OY$ , ограниченная замкнутой кривой $C$

Пусть область $D$ в криволинейная трапеция (область, цилиндрическая в направлении $OY$ ):

$D = \{ (x,y)|a \le x \le b, y_1(x) \le y \le y_2(x) \}$

Для кривой $C$ , ограничивающей область $D$ зададим направление обхода по часовой стрелке.

Тогда:

$\iint\limits_{D} \frac{\partial P}{\partial y} \,dx\,dy = \int\limits_{a}^{b}dx \int\limits_{y_1(x)}^{y_2(x)} \frac{\partial P}{\partial y} \,dy = \int\limits_{a}^{b} (P(x,y_2(x)) - P(x,y_1(x))) \,dx =$

$= \int\limits_{a}^{b} P(x,y_2(x)) \,dx - \int\limits_{a}^{b} P(x,y_1(x)) \,dx \quad (1)$

Заметим, что оба полученных интеграла можно заменить криволинейными интегралами:

$\int\limits_{C_1} P(x,y) \,dx = -\int\limits_{-C_1} P(x,y) \,dx = -\int\limits_{a}^{b} P(x,y_1(x)) \,dx \quad (2)$

$\int\limits_{C_3} P(x,y) \,dx = \int\limits_{a}^{b} P(x,y_2(x)) \,dx \quad (3)$

Интеграл по $C_1$ берётся со знаком «минус», так как согласно ориентации контура $C$ направление обхода данной части в от $b$ до $a$ .

Криволинейные интегралы по $C_2$ и $C_4$ будут равны нулю, так как $x = \operatorname{const}$ :

$\int\limits_{C_2} P(x,y) \,dx = 0 \quad (4)$

$\int\limits_{C_4} P(x,y) \,dx = 0 \quad (5)$

Заменим в (1) интегралы согласно (2) и (3), а также прибавим (4) и (5), равные нулю и поэтому не влияющие на значение выражения:

$\iint\limits_{D} \frac{\partial P}{\partial y} \,dx\,dy = \int\limits_{C_1} P(x,y) \,dx + \int\limits_{C_3} P(x,y) \,dx + \int\limits_{C_2} P(x,y) \,dx + \int\limits_{C_4} P(x,y) \,dx$

Так как обход по часовой стрелке при правой ориентации плоскости является отрицательным направлением, то сумма интегралов в правой части является криволинейным интегралом по замкнутой кривой $C$ в отрицательном направлении:

$\iint\limits_{D} \frac{\partial P}{\partial y} \,dx\,dy = -\int\limits_{C} P(x,y) \,dx \quad (6)$

Аналогично доказывается формула:

$\iint\limits_{D} \frac{\partial Q}{\partial x} \,dx\,dy = \int\limits_{C} Q(x,y) \,dy \quad (7)$

если в качестве области $D$ взять область, правильную в направлении $OX$ .

Складывая (6) и (7), получим:

$\int\limits_{C} P \,dx + Q \,dy = \iint\limits_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \,dx\,dy$

[править] Формулы Грина

Если бы в электростатических задачах мы всегда имели дело с дискретным или непрерывным распределением заряда без всяких граничных поверхностей, то общее решение для скалярного потенциала

$\Phi(x)=\int \frac{\varrho(x^')}{|x-x^'|}\, d^3x$

было бы самой удобной и непосредственной формой решения таких задач и не нужны были бы ни уравнение Лапласа, ни уравнение Пуассона. Однако в действительности в целом ряде, если не в большинстве, задач электростатики мы имеем дело с конечными областями пространства (содержащими или не содержащими заряд), на граничных поверхностях которых заданы определённые граничные («краевые») условия. Эти граничные условия могут быть заменены некоторым соответственно подобранным распределением зарядов вне рассматриваемой области (в частности, в бесконечности), однако приведённое выше соотношение в этом случае уже непригодно для расчёта потенциала, за исключением некоторых частных случаев (например, в методе изображений).

Для рассмотрения задач с граничными условиями необходимо расширить используемый нами математический аппарат, а именно вывести так называемые формулы, или теоремы Грина (1824 г.). Они получаются непосредственно из теоремы о дивергенции

$\int\limits_V \operatorname{div}~A\,d^3x=\oint\limits_S A \cdot n\,da$ ,

которая справедлива для любого векторного поля А, определённого в объёме V, ограниченном замкнутой поверхностью S. Пусть $A=\varphi \operatorname{grad} ~\psi$ , где $\varphi$ и $\psi \,\!$ в произвольные дважды непрерывнодифференцируемые скалярные функции. Тогда

$\operatorname{div}~(\varphi \operatorname{grad} ~\psi)=\varphi \nabla^2 \psi + \operatorname{grad} ~\varphi \cdot \operatorname{grad} ~\psi (1)$

и

$\varphi \operatorname{grad} ~\psi \cdot n=\varphi \frac{\partial \psi}{\partial n} (2)$ ,

где $\frac{\partial}{\partial n}$ в нормальная производная на поверхности S (по направлению внешней нормали по отношению к объёму V). Подставляя (1) и (2) в теорему о дивергенции, мы придем к первой формуле Грина

$\int\limits_V (\varphi \nabla^2 \psi + \operatorname{grad} ~\varphi \cdot \operatorname{grad} ~\psi)\,d^3x = \oint\limits_S \varphi \frac{\partial \psi}{\partial n} \,da (3)$ .

Напишем такую же формулу, поменяв в ней местами $\varphi$ и $\psi\,\!$ , и вычтем её из (3). Тогда члены с произведением $\operatorname{grad} ~\varphi \cdot \operatorname{grad} ~\psi$ сократятся и мы получим вторую формулу Грина, называемую иначе теоремой Грина:

$\int\limits_V (\varphi \nabla^2 \psi - \psi \nabla^2 \varphi)\,d^3x = \oint\limits_S [\varphi \frac{\partial \psi}{\partial n} - \psi \frac{\partial \varphi}{\partial n}] \,da$ .

В физике и математике теорема Грина дает соотношение между криволинейным интегралом простой ограниченной кривой С и двойным интегралом по плоской поверхности D ограниченной кривой С. И в общем виде записывается следующим образом

$\int\limits_{C} L\, dx + M\, dy = \iint\limits_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA.$

В физике Теорема Грина в основном используется для решения двумерных потоковых интегралов, исходя из того, что сумма исходящих потоков в любой точки области равна результирующему потоку, суммируемому по всей ограничивающей поверхности.

Третье уравнение Грина получается из второго уравнения путем замены $\psi = \frac{1}{|\mathbf{x} - \mathbf{y}|}$ и замечания о том, что $\nabla^2 \psi = - 4 \pi \delta \left( \mathbf{x} - \mathbf{y} \right)$ в R ³. Если $\phi,\,\!$ дважды дифференцируема на U.

$\oint\limits_{\partial U} \left[ {1 \over |\mathbf{x} - \mathbf{y}|} {\partial \phi \over \partial n} (\mathbf{y}) - \phi(\mathbf{y}) {\partial \over \partial n_\mathbf{y}} {1 \over |\mathbf{x} - \mathbf{y}|}\right]\, dS_\mathbf{y} - \int\limits_U \left[ {1 \over |\mathbf{x} - \mathbf{y}|} \nabla^2 \phi(\mathbf{y})\right]\, dV_\mathbf{y} = k$

$k = 4\pi\phi(x),\,\!$ если x в€€ Int U, $2\pi\phi(x),\,\!$ если x в€€ в€‚U и плоскость касания только в x.

[править] См. также

[править] Литература

Д. Ж. Джексон Классическая электродинамика (1965 г.)

Теорема Грина

Содержание

[править] Формулировка

[править] Доказательство

[править] Формулы Грина

[править] См. также

[править] Литература

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках