Теорема о циркуляции магнитного поля

Теорема о циркуляции магнитного поля в одна из фундаментальных теорем классической электродинамики, сформулированная Андре Мари Ампером в 1826 году. В 1861 году Джеймс Максвелл снова вывел эту теорему, опираясь на аналогии с гидродинамикой, и обобщил ее (см. ниже). Уравнение, представляющее собой содержание теоремы в этом обобщенном виде, входит в число уравнений Максвелла. (Для случая постоянных электрических полей - то есть в принципе в магнитостатике - верна теорема в первоначальном виде, сформулированном Ампером и приведенном в статье первым; для общего случая правая часть должна быть дополнена членом с производной напряженности электрического поля по времени - см. ниже). Теорема гласит^[1]:

Циркуляция магнитного поля постоянных токов по всякому замкнутому контуру пропорциональна сумме сил токов, пронизывающих контур циркуляции.

Эта теорема, особенно в иностранной или переводной литературе, называется также теоремой Ампера или законом Ампера о циркуляции (англ. Ampèreв™s circuital law). Последнее название подразумевает рассмотрение закона Ампера в качестве более фундаментального утверждения, чем закон Био в Савара в Лапласа, который в свою очередь рассматривается уже в качестве следствия (что, в целом, соответствует современному варианту построения электродинамики).

Для общего случая (классической) электродинамики формула должна быть дополнена в правой части членом, содержащим производную по времени от электрического поля (см. уравнения Максвелла, а также параграф «Обобщение» ниже). В таком дополненном виде она представляет собой четвёртое уравнение Максвелла в интегральной форме.

[править] Математическая формулировка

В математической формулировке для магнитостатики теорема имеет^[2]следующий вид^[1]^[3]:

$\oint\vec B \cdot \vec{dl} = \frac{4\pi}{c}\int\vec j\cdot \vec{ds}$

Здесь $\vec B$ в вектор магнитной индукции, $\vec j$ в плотность тока; интегрирование слева производится по произвольному замкнутому контуру, справа в по произвольной поверхности, натянутой на этот контур. Данная форма носит название интегральной, поскольку в явном виде содержит интегрирование. Теорема может быть также представлена в дифференциальной форме^[4]:

$\mathrm{rot}\ \vec B = \frac{4\pi}{c}\vec j$

Эквивалентность интегральной и дифференциальной форм следует из теоремы Стокса^[5].

Приведённая выше форма справедлива для вакуума. В случае применения её в среде (веществе), она будет корректна только в случае, если под j понимать вообще все токи, то есть учитывать и «микроскопические» токи, текущие веществе, включая «микроскопические» токи, текущие в областях размерами порядка размера молекулы (см. диамагнетики) и магнитные моменты микрочастиц (см.например ферромагнетики).

Поэтому в веществе, если не пренебрегать его магнитными свойствами, часто удобно из полного тока выделить ток намагничения (см. связанные токи), выразив его через величину намагниченности $I$ и введя вектор напряжённости магнитного поля

$\vec H = \vec B - 4\pi \vec I$

Тогда теорема о циркуляции запишется в форме^[6]

$\oint\vec H\cdot \vec{dl} = \frac{4\pi}{c}\int\vec j_f\cdot \vec{ds}$

$\mathrm{rot}\ \vec H = \frac{4\pi}{c}\vec j_f,$

где под $\vec j_f$ (в отличие от $\vec j$ в формуле выше) имеются в виду т. н. свободные токи, в которых ток намагничения исключен (что бывает удобно практически, поскольку $\vec j_f$ - это обычно уже в сущности макроскопические токи, которые не связаны с намагничением вещества и которые в принципе нетрудно непосредственно измерить)^[7].

В динамическом случае - то есть в общем случае классической электродинамики - когда поля меняются во времени (а в средах при этом меняется и их поляризация) - и речь тогда идет об обобщенной теореме, включающей $d\vec E/dt$ , - всё сказанное выше относится и к микроскопическим токам, связанным с изменениями поляризации диэлектрика. Эта часть токов тогда учитывается в члене $d\vec D/dt$ .

[править] Обобщение

Основная статья: Закон Ампера - Максвелла

Основным фундаментальным обобщением^[8] теоремы является четвёртое уравнение Максвелла. В интегральной форме оно является прямым обобщением на динамический случай магнитостатической формулы, приведённой выше. Для вакуума^[9]:

$\oint\vec B \cdot \vec{dl} = \frac{1}{c} \int(4\pi \vec j + \frac{\partial \vec E}{\partial t})\cdot \vec{ds}$

для среды^[10]:

$\oint\vec{H}\cdot \vec{dl} = \frac{4\pi}{c} \int \vec j \cdot \vec{ds} + \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\int\vec{D}\cdot \vec{ds}.$

(Как видим, формулы отличаются от приведенных выше только одним добавочным членом со скоростью изменения электрического поля в правой части).

Дифференциальную форму этого уравнения:

$\mathbf{rot}\vec{B} = \frac{4\pi}{c}\vec j + \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\vec{E},$

$\mathbf{rot}\vec{H} = \frac{4\pi}{c}\vec j + \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\vec{D}$

(в гауссовой системе, для вакуума и среды соответственно) - также можно при желании считать вариантом обобщения теоремы о циркуляции магнитного поля, поскольку она, конечно, тесно связана с интегральной.

[править] Практическое значение

Магнитное поле прямолинейного проводника с током.

Теорема о циркуляции играет в магнитостатике приблизительно ту же роль, что и теорема Гаусса в электростатике. В частности, при наличии определённой симметрии задачи, она позволяет просто находить величину магнитного поля во всём пространстве по заданным токам^[1]. Например, для вычисления магнитного поля от бесконечного прямолинейного проводника с током по закону Био в Савара в Лапласа потребуется вычислить неочевидный интеграл, в то время как теорема о циркуляции (с учётом осевой симметрии задачи) позволяет дать мгновенный ответ:

$B(r)\cdot 2\pi r = \frac{4\pi}{c} I \to B(r) = \frac{2I}{cr}$ .

[править] Примечания

в‘ ¹ ² ³ Сивухин Д. В. Общий курс физики. в М.: Наука, 1977. в Т. III. Электричество. в С. 235. в 688 с.
в‘ Приведено здесь в гауссовой системе единиц; в системе СИ константа в правой части вместо $\frac{4\pi}{c}$ записывается как $\mu_0$ .
в‘ здесь и ниже использована система СГС, в системе СИ коэффициенты отсутствуют
в‘ Сивухин Д. В. Общий курс физики. в М.: Наука, 1977. в Т. III. Электричество. в С. 239. в 688 с.
в‘ Сивухин Д. В. Общий курс физики. в М.: Наука, 1977. в Т. III. Электричество. в С. 241. в 688 с.
в‘ Сивухин Д. В. Общий курс физики. в М.: Наука, 1977. в Т. III. Электричество. в С. 253. в 688 с.
в‘ На практике при написании уравнений для среды индекс f у токов как правило опускается, пишется просто $\vec j$ . Также часто не делается оговорок о том, что это именно «свободные» токи. В такой феноменологической теории никаких других токов явно не рассматривается, хотя на самом деле (физически) связанные токи, конечно, есть, просто «спрятаны» в другие величины в $\vec I, \vec H$ итп и формально исключены из рассмотрения.
в‘ Поскольку это обобщение основывается на верности магнитостатического варианта теоремы Ампера о циркуляции магнитного поля и сохранении заряда (которое может быть принято как постулат) и может быть показано достаточно строго соответствие обобщенного уравнения этим двум посылкам, а при наложении определенных дополнительных условий - и единственность такого обобщения, оно в принципе может быть также сформулировано в виде теоремы.
в‘ В гауссовой системе единиц.
в‘ В основном тексте в в гауссовой системе единиц. В СИ в так:

$\oint\vec{H}\cdot \vec{dl} = \int \vec j \cdot \vec {ds} + \frac{\partial}{\partial t}\int\vec{D}\cdot \vec{ds}.$

[sivuhin235-0] в‘ ¹ ² ³ Сивухин Д. В. Общий курс физики. в М.: Наука, 1977. в Т. III. Электричество. в С. 235. в 688 с.

[1] в‘ Приведено здесь в гауссовой системе единиц; в системе СИ константа в правой части вместо $\frac{4\pi}{c}$ записывается как $\mu_0$ .

[2] в‘ здесь и ниже использована система СГС, в системе СИ коэффициенты отсутствуют

[sivuhin239-3] в‘ Сивухин Д. В. Общий курс физики. в М.: Наука, 1977. в Т. III. Электричество. в С. 239. в 688 с.

[sivuhin241-4] в‘ Сивухин Д. В. Общий курс физики. в М.: Наука, 1977. в Т. III. Электричество. в С. 241. в 688 с.

[sivuhin253-5] в‘ Сивухин Д. В. Общий курс физики. в М.: Наука, 1977. в Т. III. Электричество. в С. 253. в 688 с.

[6] в‘ На практике при написании уравнений для среды индекс f у токов как правило опускается, пишется просто $\vec j$ . Также часто не делается оговорок о том, что это именно «свободные» токи. В такой феноменологической теории никаких других токов явно не рассматривается, хотя на самом деле (физически) связанные токи, конечно, есть, просто «спрятаны» в другие величины в $\vec I, \vec H$ итп и формально исключены из рассмотрения.

[7] в‘ Поскольку это обобщение основывается на верности магнитостатического варианта теоремы Ампера о циркуляции магнитного поля и сохранении заряда (которое может быть принято как постулат) и может быть показано достаточно строго соответствие обобщенного уравнения этим двум посылкам, а при наложении определенных дополнительных условий - и единственность такого обобщения, оно в принципе может быть также сформулировано в виде теоремы.

[8] в‘ В гауссовой системе единиц.

[9] в‘ В основном тексте в в гауссовой системе единиц. В СИ в так:

$\oint\vec{H}\cdot \vec{dl} = \int \vec j \cdot \vec {ds} + \frac{\partial}{\partial t}\int\vec{D}\cdot \vec{ds}.$

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

Теорема о циркуляции магнитного поля

Содержание

[править] Математическая формулировка

[править] Обобщение

[править] Практическое значение

[править] Примечания

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках