Теория возмущений

Тео́рия возмуще́ний включает в себя математические методы, которые используются для нахождения приближенного решения задач, не имеющих точного решения. Теория возмущений применима, если задача может быть сформулирована, добавлением «малых» членов к точно решаемой задаче.

Теория возмущений приводит к выражению для искомого решения с точки зрения формального степенного ряда в некоторых «малых» параметр в известный как возмущение серии в это количественные отклонения от точно решаемой задачи. Главный член в степенном ряде решения точно решаемая задача, а дальше члены описывают отклонения в решении, в связи с отклонением от исходной задачи. Формально, у нас есть для приближения к полному решению, ряд по малому параметру (в данном случае называется $\epsilon$), подобно этому:

$A= A_0 + \epsilon^1 A_1 + \epsilon^2 A_2 + \cdots$

В этом примере, $A_0$ в известное решение точно решаемой задачи $A_1$, $A_2,$в представляют собой члены высшего порядка которые можно найти итеративно, используя некоторые систематические процедуры. Для небольших $\epsilon$ эти члены высшего порядка в ряде стали последовательно уменьшается. Приближение «возмущенного решения» получается путем усечения ряда, как правило, сохраняя только первые два члена, исходное решение и поправку «первого порядка»:

$A \approx A_0 + \epsilon A_1$

Общие положения

Подход в теоретической физике, заключающийся в разложении уравнений движения по какому-либо малому параметру и последующему решению этих уравнений почленно. При этом решения исходного уравнения тоже записываются в виде ряда по этому малому параметру. Вся эта процедура напоминает разложение функции в ряд Тейлора.

Теория возмущений является очень эффективным методом в тех случаях, когда гамильтониан системы сложен (и потому уравнения движения не могут быть решены точно), однако он лишь немногим отличается от некоторого точно решаемого гамильтониана.

Теория возмущений является стандартным методом решения задач в квантовой механике и квантовой теории поля; иногда применяется и при решении задач классической механики.

Примеры неприменимости теории возмущений

Несмотря на свою кажущуюся универсальность, метод теории возмущений не срабатывает в определённом классе задач. Примерами могут являться инстантонные эффекты в ряде задач квантовой механики и квантовой теории поля. Инстантонные вклады обладают существенными особенностями в точке разложения. Типичный пример инстантонного вклада имеет вид:

$T_{inst} \sim \exp\left(-{1\over g}\right)$, где g в малый параметр.

Эта функция является неаналитичной в точке $g = 0$, а потому не может быть разложена в ряд Тейлора.

См. также

• Стационарная теория возмущений в квантовой механике

Литература

В квантовой механике

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). в Издание 4-е. в М.: Наука, 1989. в 768 с. в («Теоретическая физика», том III). в ISBN 5-02-014421-5
• Мессиа А. Квантовая механика: Пер. с фр. в Т.2, 1979. в 584 с.

Инстантонные эффекты

• J.Zinn-Justin and U.D.Jentschura Multi-Instantons and Exact Results I: Conjectures, WKB Expansions, and Instanton Interactions, в Ann.Phys. 313 (2004) 197в267 (quant-ph/0501136).
• J.Zinn-Justin and U.D.Jentschura Multi-Instantons and Exact Results II: Specific Cases, Higher-Order Effects, and Numerical Calculations, в Ann.Phys. 313 (2004) 269в325 (quant-ph/0501137).