Теория множеств

Тео́рия мно́жеств в раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики.^{[источник не указан 274 дня]}

Содержание

1 История
- 1.1 Наивная теория множеств
- 1.2 Аксиоматическая теория множеств
2 Основные понятия
3 Расширения
4 Приложения
5 См. также
6 Примечания
7 Литература

[править] История

[править] Наивная теория множеств

Первый набросок теории множеств принадлежит Бернарду Больцано («Парадоксы бесконечного», 1850). В этой работе рассматриваются произвольные (числовые) множества, и для их сравнения определено понятие взаимно-однозначного соответствия.

В 1870 году немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказываться тем или иным «множеством». Этот подход изложен в двух его статьях, опубликованных в 1879в1897 годах в известном немецком журнале «Математические анналы» (нем. «Mathematische Annalen»).^[1] Например, натуральное число, по Кантору, следовало рассматривать как множество, состоящее из единственного элемента другого множества, называемого «натуральным рядом» в который, в свою очередь, сам представляет собой множество, удовлетворяющее так называемым аксиомам Пеано. При этом общему понятию «множества», рассматривавшемуся им в качестве центрального для математики, Кантор давал мало что определяющие определения вроде «множество есть многое, мыслимое как единое», и т. д. Это вполне соответствовало умонастроению самого Кантора, подчёркнуто называвшего свою программу не «теорией множеств» (этот термин появился много позднее), а учением о множествах (Mengenlehre)^{[источник не указан 882 дня]}.

Программа Кантора вызвала резкие протесты со стороны многих современных ему крупных математиков. Особенно выделялся своим непримиримым к ней отношением Леопольд Кронекер, полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что «бог создал натуральные числа, а всё прочее в дело рук человеческих»). Полностью отвергли теорию множеств и такие авторитетные математики, как Герман Шварц и Анри Пуанкаре. Тем не менее, другие крупные математики в в частности, Готлоб Фреге, Рихард Дедекинд и Давид Гильберт в поддержали Кантора в его намерении перевести всю математику на теоретико-множественный язык. В частности, теория множеств стала фундаментом теории меры и интеграла, топологии и функционального анализа.

Однако вскоре выяснилось, что установка Кантора на неограниченный произвол при оперировании с бесконечными множествами (выраженный им самим в принципе «сущность математики состоит в её свободе») является изначально порочной (см. Кризис математических основ). А именно, был обнаружен ряд теоретико-множественных антиномий: оказалось, что при использовании теоретико-множественных представлений некоторые утверждения могут быть доказаны вместе со своими отрицаниями (а тогда, согласно правилам классической логики высказываний, может быть «доказано» абсолютно любое утверждение).

После обнаружения антиномии Рассела часть математиков (например, Л. Э. Я. Брауэр и его школа) решила полностью отказаться от использования теоретико-множественных представлений. Другая же часть математиков, возглавленная Д. Гильбертом, предприняла ряд попыток строго обосновать ту часть теоретико-множественных представлений, которая казалась им наиболее ответственной за возникновение антиномий, на основе заведомо надёжной финитной математики. Логический аппарат усовершенствовал Бертран Рассел в работах, позднее собранных в его монографии «Начала математики» (1910в1913). В 1904в1908 гг. Эрнст Цермело предложил первую версию аксиоматической теории множеств.

[править] Аксиоматическая теория множеств

Особенностью аксиоматического подхода является отказ от лежащего в основе программы Кантора представления о действительном существовании множеств в некотором идеальном мире. В рамках аксиоматических теорий множества «существуют» исключительно формальным образом, и их «свойства» могут существенно зависеть от выбора аксиоматики. Этот факт всегда являлся мишенью для критики со стороны тех математиков, которые не соглашались (как на том настаивал Гильберт) признать математику лишённой всякого содержания игрой в символы. В частности, Н. Н. Лузин писал, что «мощность континуума, если только мыслить его как множество точек, есть единая некая реальность», место которой в ряду кардинальных чисел не может зависеть от того, признаётся ли в качестве аксиомы континуум-гипотеза, или же её отрицание.

В настоящее время наиболее распространённой аксиоматической теорией множеств является ZFC в теория Цермело в Френкеля с аксиомой выбора. Вопрос о непротиворечивости этой теории (а тем более в о существовании модели для неё) остаётся нерешённым.

Не всеми математиками аксиома выбора принимается безоговорочно. Так, например Эмиль Борель и Анри Лебег считают, что доказательства, полученные при помощи этой аксиомы, имеют другую познавательную ценность, чем доказательства, независимые от неё. Другие же математики, такие как Феликс Хаусдорф и Адольф Френкель, принимают аксиому выбора безоговорочно, признавая за ней ту же степень очевидности, что и за другими аксиомами Цермело в Френкеля.^[2]

[править] Основные понятия

Диаграмма Венна, показывающая все пересечения букв греческого, русского и латинского алфавитов (буквы заглавные)

В основе теории множеств лежат первичные понятия: множество и отношение быть элементом множества (обозначается как $x \in A$ ^[3] в «x есть элемент множества A», «x принадлежит множеству A»). Среди производных понятий наиболее важны следующие:

пустое множество, обычно обозначается символом $~ \varnothing$ ;
подмножество и надмножество;
семейство множеств;
пространство (Универсум);
конституента.

Над множествами определены следующие операции:

объединение (или сумма) (обозначается как $A \cup B$ );
разность (обозначается как $A \setminus B,$ реже $A - B\,$ );
дополнение (обозначается как $\setminus A,$ или $-A\,$ );
пересечение (или произведение) (обозначается как $A \cap B$ );
симметрическая разность (обозначается как $A\,\triangle\,B,$ реже $A\,\dot{-}\,B$ ).

Для множеств определены следующие бинарные отношения:

отношение равенства (обозначается как $A = B\,$ );
отношение включения (обозначается как $A \subset B$ ).

[править] Расширения

Основная статья: Теория комплектов

Теория комплектов в естественное расширение (обобщение) теории множеств. Подобно множеству, комплект в набор элементов из некоторой области. Отличие от множества: комплекты допускают присутствие нескольких экземпляров одного и того же элемента (элемент входит от нуль раз, то есть, не входит в комплект, до любого заданного числа раз)^[4]. (см. например, Мультисочетания).

[править] Приложения

[править] См. также

[править] Примечания

в‘ Georg Cantor, Ueber unendliche, lineare Punktmannichfahltigkeiten. в Mathematische Annalen, Bd. 15 (1879), 17 (1880), 20 (1882), 21 (1883), 23 (1884).
Georg Cantor, Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. в Mathematische Annalen, Bd. 46 (1895), 49 (1895). (Имеется русский перевод: Кантор Г. Труды по теории множеств. М.: Наука, 1985.)
в‘ К. Куратовский, А. Мостовский Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. в М.: Мир, 1970. в С. 61..
в‘ Символ $\in$ (от греч. εστι в «быть») введён итальянским математиком Джузеппе Пеано.
в‘ Джеймс Питерсон Теория сетей Петри и моделирование систем:Пер. с англ.-М.:Мир, 1984.-264с., ил. (стр. 231 «Обзор теории комплектов»)

[править] Литература

К. Куратовский, А. Мостовский Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. в М.: Мир, 1970. в 416 с.
Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.
А. Френкель, И. Бар-Хиллел Основания теории множеств / Перевод с английского Ю. А. Гастева под редакцией А. С. Есенина-Вольпина. в М.: Мир, 1966. в 556 с.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

[0] в‘ Georg Cantor, Ueber unendliche, lineare Punktmannichfahltigkeiten. в Mathematische Annalen, Bd. 15 (1879), 17 (1880), 20 (1882), 21 (1883), 23 (1884).
Georg Cantor, Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. в Mathematische Annalen, Bd. 46 (1895), 49 (1895). (Имеется русский перевод: Кантор Г. Труды по теории множеств. М.: Наука, 1985.)

[1] в‘ К. Куратовский, А. Мостовский Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. в М.: Мир, 1970. в С. 61..

[2] в‘ Символ $\in$ (от греч. εστι в «быть») введён итальянским математиком Джузеппе Пеано.

[3] в‘ Джеймс Питерсон Теория сетей Петри и моделирование систем:Пер. с англ.-М.:Мир, 1984.-264с., ил. (стр. 231 «Обзор теории комплектов»)

[1]

[2]

[3]

[4]

Теория множеств

Содержание

[править] История

[править] Наивная теория множеств

[править] Аксиоматическая теория множеств

[править] Основные понятия

[править] Расширения

[править] Приложения

[править] См. также

[править] Примечания

[править] Литература

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках