Тетраэдр

Тетра́эдр (греч. τετραεδρον в четырёхгранник) в простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.

Содержание

1 Связанные определения
2 Свойства тетраэдра
3 Типы тетраэдров
4 Объем тетраэдра
5 Тетраэдры в микромире
6 Тетраэдры в технике
7 Ссылки

[править] Связанные определения

Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани, называется его медианой, опущенной из данной вершины.
Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер тетраэдра, называется его бимедианой, соединяющей данные рёбра.
Отрезок, соединяющий вершину с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани, называется его высотой, опущенной из данной вершины.

[править] Свойства тетраэдра

Правильный тетраэдр

Тип	Правильный многогранник
Грань	Треугольник
Вершин	$4\,\!$
Рёбер	$6\,\!$
Граней	$4\,\!$
Граней при вершине	$3\,\!$
Длина ребра	$a\,\!$
Площадь полной поверхности	$\sqrt3a^2\,\!$
Объём	$\frac{\sqrt2}{12}a^3$
Высота	$\frac{\sqrt6}{3}a$
Радиус вписаной сферы	$\frac{\sqrt6}{12}a$
Радиус описанной сферы	$\frac{\sqrt6}{4}a$
Угол наклона ребра	$\arctan\sqrt2\approx\frac{7}{23}\pi$
Угол наклона грани	$\arctan2\sqrt2\approx\frac{29}{74}\pi$
Точечная группа симметрии	$\bar{4}3m\,$ , или T_d
Двойственный многогранник	Тетраэдр

Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.
Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины. Эта точка делит бимедианы пополам.
Плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся рёбер тетраэдра делит его на две равные по объёму части^[1]^:216-217.

[править] Типы тетраэдров

Выделяют:

равногранный тетраэдр, у которого все грани в равные между собой треугольники;
ортоцентрический тетраэдр, у которого все высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке;
прямоугольный тетраэдр, у которого все ребра, прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между собой;
правильный тетраэдр, у которого все грани в равносторонние треугольники;
каркасный тетраэдр в тетраэдр, отвечающий любому из условий^[2]:
- Существует сфера, касающаяся всех ребер.
- Суммы длин скрещивающихся ребер равны.
- Суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны.
- Окружности, вписанные в грани, попарно касаются.
- Все четырехугольники, получающиеся на развертке тетраэдра, в описанные.
- Перпендикуляры, восставленные к граням из центров вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке.
соразмерный тетраэдр, бивысоты которого равны;
инцентрический тетраэдр, у которого отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке.

[править] Объем тетраэдра

Объем тетраэдра (с учетом знака), вершины которого находятся в точках $~ \mathbf{r}_1 (x_1,y_1,z_1)$ , $~ \mathbf{r}_2 (x_2,y_2,z_2)$ , $~ \mathbf{r}_3 (x_3,y_3,z_3)$ , $~ \mathbf{r}_4 (x_4,y_4,z_4)$ , равен

$~ V = -\frac16 \begin{vmatrix} 1 & x_1 & y_1 & z_1 \\ 1 & x_2 & y_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & y_3 & z_3 \\ 1 & x_4 & y_4 & z_4 \end{vmatrix}$

[править] Тетраэдры в микромире

Вода, Лёд, Н₂О
Молекула метана СН₄
Молекула аммиака NH₃
Алмаз C в тетраэдр с ребром равным 2,5220 ангстрем
Флюорит CaF₂, тетраэдр с ребром равным 3, 8626 ангстрем
Сфалерит, ZnS, тетраэдр с ребром равным 3,823 ангстрем
Комплексные ионы [BF₄] ^-, [ZnCl₄]^2-, [Hg(CN)₄]^2-, [Zn(NH3)₄]²⁺.

[править] Тетраэдры в технике

Тетраэдр образует жёсткую, статически определимую конструкцию. Тетраэдр, выполненный из стержней, часто используется в качестве основы для пространственных несущих конструкций пролётов зданий, перекрытий, балок, ферм мостов и т. д. Стержни испытывают только продольные нагрузки.
Прямоугольный тетраэдр используется в оптике. Если грани, имеющие прямой угол, покрыть светоотражающим составом или весь тетраэдр выполнить из материала с сильным светопреломлением, чтобы возникал эффект полного внутреннего отражения, то свет, направленный в грань, противоположную вершине с прямыми углами, будет отражаться в том же направлении, откуда он пришёл. Это свойство используется для создания уголковых отражателей, катафотов.
Граф четверичного триггера представляет собой тетраэдр^[3].

[править] Ссылки

в‘ Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. в М.: Высшая школа, 1985. в 232 с.
в‘ В. Э. МАТИЗЕН Равногранные и каркасные тетраэдры «Квант» в„– 7, 1983 г.
в‘ http://knol.google.com/k/%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%B3%D0%B5%D1%80#view Триггер

Это заготовка статьи по стереометрии. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

[0] в‘ Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. в М.: Высшая школа, 1985. в 232 с.

[1] в‘ В. Э. МАТИЗЕН Равногранные и каркасные тетраэдры «Квант» в„– 7, 1983 г.

[2] в‘ http://knol.google.com/k/%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%B3%D0%B5%D1%80#view Триггер

[1]

[2]

[3]

Тетраэдр

Содержание

[править] Связанные определения

[править] Свойства тетраэдра

[править] Типы тетраэдров

[править] Объем тетраэдра

[править] Тетраэдры в микромире

[править] Тетраэдры в технике

[править] Ссылки

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках