Трансцендентное число

Трансценде́нтное число́ (от лат. transcendere в переходить, превосходить) в это вещественное или комплексное число, не являющееся алгебраическим в иными словами, число, которое не может быть корнем многочлена с целыми коэффициентами.

Содержание

1 Свойства
2 Примеры
3 История
4 Вариации и обобщения
5 См. также
6 Примечания
7 Литература

[править] Свойства

Множество трансцендентных чисел континуально.
Каждое трансцендентное вещественное число является иррациональным, но обратное неверно. Например, число $\sqrt 2$ в иррациональное, но не трансцендентное: оно является корнем многочлена $\!x^2-2$ (и потому является алгебраическим).

[править] Примеры

Число $\!\pi$ .
Число $\!e$ ^[1].
Десятичный логарифм любого целого числа, кроме чисел вида $\!10^n$ .^[2]
$\!\sin a$ , $\!\cos a$ и $\!\mathrm{tg}\,a$ , для любого ненулевого алгебраического числа $\!a$ (по теореме Линдемана в Вейерштрасса).

[править] История

Впервые понятие трансцендентного числа ввёл Ж. Лиувилль в 1844 году, когда доказал теорему о том, что алгебраическое число невозможно слишком хорошо приблизить рациональной дробью.

В 1873 году Ш. Эрмит доказал трансцендентность числа e, основания натуральных логарифмов.

В 1882 году Линдеман доказал теорему о трансцендентности степени числа e с ненулевым алгебраическим показателем, тем самым доказав трансцендентность числа $\!\pi$ и неразрешимость задачи квадратуры круга.

В 1900 году на II Международном конгрессе математиков Гильберт в числе сформулированных им проблем сформулировал седьмую проблему: «Если $a \neq 0$ , $\!a$ в алгебраическое число, и $\!b$ в алгебраическое, но иррациональное, верно ли, что $\!a^b$ в трансцендентное число?» В частности, является ли трансцендентным число $2^\sqrt 2$ . Эта проблема была решена в 1934 году Гельфондом, который доказал, что все такие числа действительно являются трансцендентными.

[править] Вариации и обобщения

В теории Галуа рассматривается более общее определение: элемент расширения поля P трансцендентный, если он не является корнем многочлена над P.

[править] См. также

Кольцо периодов

[править] Примечания

в‘ Proof that $e$ is transcendental
в‘ Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.

[править] Литература

Фельдман Н. Алгебраические и трансцендентные числа // Квант. в 1983. в в„– 7. в С. 2в7.

[0] в‘ Proof that $e$ is transcendental

[1] в‘ Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.

[1]

[2]

Числовые системы
Счётные множества	Натуральные числа ( $\scriptstyle\mathbb{N}$ ) Целые ( $\scriptstyle\mathbb{Z}$ ) Рациональные ( $\scriptstyle\mathbb{Q}$ ) Алгебраические ( $\scriptstyle\overline{\mathbb{Q}}$ ) Периоды Вычислимые Арифметические
Вещественные числа и их расширения	Вещественные ( $\scriptstyle\mathbb{R}$ ) Комплексные ( $\scriptstyle\mathbb{C}$ ) Кватернионы ( $\scriptstyle\mathbb{H}$ ) Числа Кэли (октавы, октонионы) ( $\scriptstyle\mathbb{O}$ ) Седенионы ( $\scriptstyle\mathbb{S}$ ) Альтернионы Процедура Кэли в Диксона Дуальные Гиперкомплексные Суперреальные Гиперреальные Surreal number (англ.)
Другие числовые системы	Кардинальные числа Порядковые числа (трансфинитные, ординал) p-адические Супернатуральные числа
См. также	Двойные числа Иррациональные числа Трансцендентные Числовой луч Бикватернион

Трансцендентное число

Содержание

[править] Свойства

[править] Примеры

[править] История

[править] Вариации и обобщения

[править] См. также

[править] Примечания

[править] Литература

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках