Факториал

Факториа́л числа n (обозначается n!, произносится эн факториа́л) в произведение всех натуральных чисел до n включительно:

$n! = 1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n =\prod_{i=1}^n i$ .

Например:

$5 ! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \$

По определению полагают $0! = 1$ . Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность факториалов неотрицательных целых чисел начинается так:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, в (последовательность A000142 в OEIS)

Факториалы часто используются в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.

[править] Свойства

[править] Рекуррентная формула

$n!= \begin{cases} 1 & n = 0,\\ n \cdot (n-1)! & n > 0. \end{cases}$

[править] Комбинаторная интерпретация

В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов. Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:

ABCD  BACD  CABD  DABC
ABDC  BADC  CADB  DACB
ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Комбинаторная интерпретация факториала служит обоснованием тождества 0! = 1, т. к. пустое множество упорядочено единственным способом.

[править] Связь с гамма-функцией

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

$n! = \Gamma(n+1)$

Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел.

Амплитуда и фаза факториала комплексного аргумента.

Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при $n=-1, -2, -3\ldots$ .

[править] Формула Стирлинга

Основная статья: Формула Стирлинга

Формула Стирлинга в асимптотическая формула для вычисления факториала:

$n! = \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 + \frac{1}{12 n} + \frac{1}{288 n^2} - \frac{139}{51840 n^3}+O\left(n^{-4}\right)\right),$

см. O-большое. Коэффициенты этого разложения дают последовательность A001163 в OEIS (числители) и последовательность A001164 в OEIS (знаменатели).

Во многих случаях для приближённого значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

$n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$

При этом можно утверждать, что

$\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n e^{1/(12n+1)}< n! < \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n e^{1/(12n)}$

[править] Разложение на простые числа

Каждое простое число p входит в разложение $n!$ на простые множители в степени

$\left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^2}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^3}\right\rfloor + \ldots.$

Таким образом,

$n! = \prod_{p} p^{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor + \lfloor \frac{n}{p^2}\rfloor +\ldots},$

где произведение берётся по всем простым числам. Нетрудно видеть, что для всякого простого p большего n соответствующий множитель в произведении равен 1, а потому произведение можно брать лишь по простым p, не превосходящим n.

[править] Другие свойства

Для натурального числа n

$n!^2 \geqslant n^n \geqslant n! \geqslant n$

[править] Обобщения

[править] Двойной факториал

Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность что и n. Таким образом,

$(2k)!! = 2\cdot 4\cdot 6\cdots 2k =\prod_{i=1}^{k} 2i = 2^k\cdot k!$

$(2k+1)!! = 1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k+1) = \prod_{i=0}^{k} (2i+1) = \frac{(2k+1)!}{2^k\cdot k!} = \frac{(2k+1)!}{(2k)!!}$

По определению полагают $0!! = 1$ .

Последовательность значений n!! начинается так:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, в (последовательность A006882 в OEIS)

[править] Кратный факториал

m-кратный факториал числа n обозначается $\textstyle n\underbrace{!!\ldots !}_m$ и определяется следующим образом:

Пусть число n представимо в виде $n=mk-r$ , где $k \in \mathbb{Z}$ , $r \in \{0,1,\ldots ,m-1\}$ . Тогда^[1]

$n\underbrace{!!\ldots !}_m = \prod_{i=1}^k (mi-r).$

Двойной факториал является частным случаем m-кратного факториала для m = 2.

[править] Связь с гамма-функцией

$\prod_{i=1}^{k} (mi-r)=m^k \cdot \frac {\Gamma \left (k-\frac {r} {m} +1 \right )} {\Gamma \left ( 1- \frac {r} {m} \right)}$ ^[2]

[править] Убывающий факториал

Убывающим факториалом (или неполным факториалом) называется выражение

$(n)_k = n^{\underline{k}} = n^{[k]}= n\cdot (n-1)\cdot \ldots\cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}$

Убывающий факториал даёт число размещений из n по k.

[править] Возрастающий факториал

Возрастающим факториалом называется выражение

$n^{(k)} = n^{\overline{k}} = n\cdot (n+1)\cdot \ldots\cdot (n+k-1) = \frac{(n+k-1)!}{(n-1)!}$

[править] Праймориал или примориал

Праймориал или примориал (англ. primorial) числа n обозначается n# и определяется как произведение простых чисел, не превышающих n. Например,

$11\# = 12\# = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 2310$

Последовательность праймориалов (включая ${\textstyle{1\# \equiv 1}}$ ) начинается так:

1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, в (последовательность A002110 в OEIS)

[править] Суперфакториалы

Основная статья: Большие числа

Нейл Слоан и Саймон Плоуф (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых $n$ факториалов. Согласно этому определению суперфакториал четырёх равен (поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное)

$\operatorname{sf}(4)=1! \times 2! \times 3! \times 4!=288 \,$

В общем

$\operatorname{sf}(n) =\prod_{k=1}^n k! =\prod_{k=1}^n k^{n-k+1} =1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots(n-1)^2\cdot n^1.$

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, в (последовательность A000178 в OEIS)

Идея была обобщена в 2000 году Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Super-duper-factorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел nв©ѕ0 начинается так:

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, в (последовательность A055462 в OEIS)

Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, где m-уровневый факториал числа n как произведение первых n (m-1)-уровневых факториалов, то есть

$\operatorname{mf}(n,m) = \operatorname{mf}(n-1,m)\operatorname{mf}(n,m-1)=\prod_{k=1}^n k^{n-k+m-1 \choose n-k},$

где $\operatorname{mf}(n,0)=n$ для $n>0$ и $\operatorname{mf}(0,m)=1$ .

[править] Субфакториал

Основная статья: Субфакториал

Субфакториал $!n\!$ определяется как количество беспорядков порядка $\!n$ , то есть перестановок $\!n$ -элементного множества без неподвижных точек.

[править] Ссылки

Онлайн Калькулятор Факториалов

[править] См. также

Факторион

[править] Примечания

в‘ "Энциклопедия для детей" Аванта+. Математика
в‘ wolframalpha.com

[avantaplus-0] в‘ "Энциклопедия для детей" Аванта+. Математика

[prooflink-1] в‘ wolframalpha.com

[1]

[2]

Факториал

Содержание

[править] Свойства

[править] Рекуррентная формула

[править] Комбинаторная интерпретация

[править] Связь с гамма-функцией

[править] Формула Стирлинга

[править] Разложение на простые числа

[править] Другие свойства

[править] Обобщения

[править] Двойной факториал

[править] Кратный факториал

[править] Связь с гамма-функцией

[править] Убывающий факториал

[править] Возрастающий факториал

[править] Праймориал или примориал

[править] Суперфакториалы

[править] Субфакториал

[править] Ссылки

[править] См. также

[править] Примечания

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках