Формула Остроградского

Материал из Энциклопедии в свободной энциклопедии

Фо́рмула Острогра́дского в формула, которая выражает поток векторного поля через замкнутую поверхность интегралом от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью:

$\iiint\limits_T\mathrm{div}\,\mathbf{F}\,dV=\iint\limits_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\supset\;\mathbf F\cdot\mathbf{n}\,dS,$

то есть интеграл от дивергенции векторного поля $\mathbf F$ , распространённый по некоторому объёму $T$ , равен потоку вектора через поверхность $S$ , ограничивающую данный объём.

Формула применяется для преобразования объёмного интеграла в интеграл по замкнутой поверхности.

В работе Остроградского формула записана в следующем виде:

$\int\left(\frac{dP}{dx}+\frac{dQ}{dy}+\frac{dR}{dz}\right)\omega=\int(P\cos\lambda+Q\cos\mu+R\cos\nu)s,$

где $ω$ и $s$ в дифференциалы объёма и поверхности соответственно. В современной записи $ω = d Ω$ в элемент объёма, $s = d S$ в элемент поверхности. $P=P(x,\;y,\;z),\;Q=Q(x,\;y,\;z),\;R=R(x,\;y,\;z)$ в функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью.

Обобщением формулы Остроградского является формула Стокса для многообразий с краем.

[править] История

Общий метод преобразования тройного интеграла к поверхностному впервые показал Карл Фридрих Гаусс (1813, 1830 гг.) на примере задач электродинамики^[1].

В 1826 году М. В. Остроградский вывел формулу в общем виде, представив её в виде теоремы (опубликовано в 1831 году). Многомерное обобщение формулы М. В. Остроградский опубликовал в 1834 году^[1]. С помощью данной формулы Остроградский нашёл выражение производной по параметру от $n$ -кратного интеграла с переменными пределами и получил формулу для вариации $n$ -кратного интеграла.

За рубежом формула называется формулой Гаусса или «формулой (теоремой) ГауссавОстроградского».

[править] См. также

[править] Литература

Остроградский М. В. Note sur les integrales definies. // Mem. 1в™Acad. (VI), 1, стр. 117в122, 29/Х 1828 (1831).
Остроградский М. В. Memoire sur le calcul des variations des integrales multiples. // Mem. 1в™Acad., 1, стр. 35в58, 24/1 1834 (1838).

[править] Примечания

в‘ ¹ ² Александрова Н. В. Математические термины.(справочник). М.: Высшая школа, 1978, стр. 150-151.

ast:Teorema de Gauss

bg:Теорема на Гаус-Остроградски ca:Teorema de la divergència cs:Gaussova věta de:Gaußscher Integralsatz en:Divergence theorem eo:Diverĝenca teoremo es:Teorema de la divergencia fi:Gaussin divergenssilause fr:Théorème de flux-divergence he:משפט גאוס hu:GaussOsztrogradszkij-tétel is:Lögmál Gauss it:Teorema della divergenza ja:з™ж•Је®з ko:лм‚м •л lmo:Teurema da la divergenza nl:Divergentiestelling no:Divergensteoremet pl:Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa pt:Teorema da divergência sk:Gaussova veta sv:Gauss sats uk:Формула Остроградського vi:Đб»‹nh lý Gauss zh:й«ж–Їж•Јее®з

[A-0] в‘ ¹ ² Александрова Н. В. Математические термины.(справочник). М.: Высшая школа, 1978, стр. 150-151.

[1]

Формула Остроградского

Содержание

[править] История

[править] См. также

[править] Литература

[править] Примечания

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты