������� ���������

��������� ������� ���������

������� ��������� (��������� ����������� �������, ������� ���������� ������, ���������� �������) � �������-���������� �������, ������ ���� ��� ������������� �������� ��������� � ������� � ��� �������������. � ���� ��� �������, ������ ������, �� ����������, ������ � ������ ������������ � ���� ����� ��������� ������, ����� ������� ����������� ������� ��������� ��� ����� �������������� ���. ���� ����� �������, ����� �������� ������� ��������� � ����, ������� ����� �������������� ��������� ����������� ������� ���������, ������� �� ��� ��� ���� ������������, ��������

$\theta(x)=\begin{cases} 0, & x<0; \\ \dfrac{1}{2}, & x=0; \\ 1, & x>0.\end{cases}$

������ ���������������� �����������:

$\theta(x)=\begin{cases} 0, & x<0; \\ 1, & x\geqslant 0.\end{cases}$

������� ��������� ������ ������������ � �������������� �������� ������ ���������� � ������ ��������� �������� ��� ������������� ��������, ����������� � ����������� ������ ������� �� ������ ��������� � ������. � �������������� ���������� ��� ������� �����������, ��������, ��� ������ ������������ ������� �������������. ������� � ����� ������� ���������.

������� ��������� �������� ������������� �������� ��� ������-������� ������, $\theta'=\delta$, ��� ����� ����� �������� ���:

$\theta(x)=\int\limits_{-\infty}^x\!\delta(t)\,dt.$

���������� �����

����� ���������� ���������� ������� ��������� ��� ������� �� ������ ��������� $n$:

$\theta[n]=\begin{cases}0, & n<0; \\ 1, & n\geqslant 0,\end{cases}$

��� $n$ � ����� �����.

���������� ��������� ������� �������� ������ ��������� ���������� ������� ���������:

$\delta[n]=\theta[n]-\theta[n-1].$

������������� �����

��� ����� �������� ������������� ������� ��������� ����� ���������������� � ������� ����������� �������:

$\theta(x)\approx\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{th}\,kx=\frac{1}{1+e^{-2kx}},$

��� �������� $k$ ������������� ����� ������ ������ ������� � ����� $x=0$. ���� ������� $\theta(0)=1/2$, ��������� ����� �������� � ���������� �����:

$\theta(x)=\lim_{k\to\infty}\frac{1}{2}(1+\mathrm{th}\,kx)=\lim_{k\to\infty}\frac{1}{1+e^{-2kx}}.$

���������� ��������� ������ ������������� ������������ ���������:

$\theta(x)=\lim_{k\to\infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\mathrm{arctg}\,kx\right);$

$\theta(x)=\lim_{k\to\infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\mathrm{erf}\,kx\right).$

������

����� ������������ � ������ �������� ������������ ����� ������ ��������� �������:

$\theta(x)=-\lim_{\varepsilon\to 0^+}\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{1}{\tau+i\varepsilon}e^{-ix\tau}\,d\tau.$

$\theta(0)$

�������� ������� � ���� ����� ������� ��� $\theta(0)=0$, $\theta(0)=1/2$ ��� $\theta(0)=1$. $\theta(0)=1/2$ � �������� ��������������� �������, ��������� �� ������������ ��������� � ����� ������� ������� ���� ������ ������������ ������� ������� �������������� ��������������� ������������� ��������, ����� ���� � ���� ������ ������� ��������� ������� � �������� �����:

$\theta(x)=\frac{1}{2}(1+\sgn x)=\begin{cases} 0, & x<0; \\ \dfrac{1}{2}, & x=0; \\ 1, & x>0.\end{cases}$

�������� � ���� ����� ���� ����������� � ������ �������:

$\theta_n(x)=\begin{cases}0, & x<0; \\ n, & x=0; \\ 1, & x>0.\end{cases}$

�������������� �����

����������� ������� ��������� ����� ������-������� (�� ���� ������� ��������� � ������������� ������-�������):

$\theta(x)=\int\limits_{-\infty}^x\delta(t)\,dt$.

�������������, �������� �������������� ����� � ������������� ������-������� $~\theta(t)$, ������� � ����������� ����:

$\frac{1}{2\pi i\omega}+\frac{1}{2}\delta(\omega),$

�� ����:

$\theta(t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\left(\frac{1}{2\pi i\omega}+\frac{1}{2}\delta(\omega)\right)e^{i\omega t}\,d\omega$

(������ ���� � ��������������� ������� ������� � ���������� � ��������� ���������� �������� ������� ��������� �����; ��� ���� ���������� �� �������� �������).

��. �����

• ������������� �������
• ������-�������
• ���������� �������