Функция распределения

Фу́нкция распределе́ния в теории вероятностей в функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора. При соблюдении известных условий (см. ниже) полностью определяет случайную величину.

Содержание

1 Определение
2 Свойства
- 2.1 Тождества
3 Дискретные распределения
4 Непрерывные распределения
5 Абсолютно непрерывные распределения
6 Вариации и обобщения
- 6.1 Многомерные функции распределения
7 См. также
8 Примечания

[править] Определение

Пусть дано вероятностное пространство $(\R,\mathcal{F},\mathbb{P})$ , и на нём определена случайная величина $X$ с распределением $\mathbb{P}^X$ . Тогда функцией распределения случайной величины $X$ называется функция $F_X\colon\mathbb{R} \to [0,1]$ , задаваемая формулой:

$F_X(x) = \mathbb{P}( X \leqslant x ) \equiv \mathbb{P}^X\left((-\infty, x]\right)$ .

Т.е. функцией распределения (вероятностей) случайной величины X называют функцию F(x), значение которой в точке x равно вероятности события $\{X \leqslant x\}$ , т.е. события, состоящего только из тех элементарных исходов, для которых $X(\omega) \leqslant x$ .

[править] Свойства

$F_X$ непрерывна справа:^[1]

$\lim\limits_{\varepsilon \to 0+} F_X(x+\varepsilon) = F_X(x)$
$F_X$ не убывает на всей числовой прямой.
$\lim\limits_{x \to -\infty} F_X(x) = 0$ .
$\lim\limits_{x \to +\infty} F_X(x) = 1$ .

Распределение случайной величины однозначно определяет функцию распределения.
- Верно и обратное: если функция $F(x)$ удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что $F(x)$ является её функцией распределения.

По определению непрерывности справа, функция имеет правый предел в любой точке , и он совпадает со значением функции в этой точке.
- В силу неубывания, функция $F_X$ также имеет и левый предел $F_X(x-)$ в любой точке $x\in \mathbb{R}$ , который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция $F_X$ либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.

[править] Тождества

Из свойств вероятности следует, что $\forall x \in \mathbb{R},\; \forall a,b\in \mathbb{R}$ , таких что $a < b$ :

$\mathbb{P}(X > x ) = 1 - F_X(x)$ ;
$\mathbb{P}(X < x ) = F_X(x-)$ ;
$\mathbb{P}(X \geqslant x ) = 1 - F_X(x-)$ ;
$\mathbb{P}( X = x ) = F_X(x) - F_X(x-)$ ;
$\mathbb{P}(a < X \leqslant b ) = F_X(b) - F_X(a)$ ;
$\mathbb{P}(a \leqslant X \leqslant b) = F_X(b) - F_X(a-)$ ;
$\mathbb{P}(a < X < b ) = F_X(b-) - F_X(a)$ ;
$\mathbb{P}(a \leqslant X < b ) = F_X(b-) - F_X(a-)$ .

[править] Дискретные распределения

Если случайная величина $X$ дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией вероятности

$\mathbb{P}(X = x_i) = p_i,\; i=1,2,\ldots$ ,

то функция распределения $F_X$ этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как:

$F_X(x) = \sum\limits_{i\colon x_i \leqslant x} p_i$ .

Эта функция непрерывна во всех точках $x\in \mathbb{R}$ , таких что $x \not= x_i,\; \forall i$ , и имеет разрыв первого рода в точках $x = x_i,\; \forall i$ .

[править] Непрерывные распределения

Распределение $\mathbb{P}^X$ называется непрерывным, если такова его функция распределения $F_X$ . В этом случае:

$\mathbb{P}(X = x) = 0,\; \forall x \in \mathbb{R}$ ,

и

$F_X(x-0) = F_X(x),\; \forall x \in \mathbb{R}$ ,

а следовательно формулы имеют вид:

$\mathbb{P}(X \in |a,b|) = F_X(b) - F_X(a)$ ,

где $|a,b|$ означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный.

[править] Абсолютно непрерывные распределения

Распределение $\mathbb{P}^X$ называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная почти всюду (относительно меры Лебега) функция $f_X(x)$ , такая что:

$F_X(x) = \int\limits_{-\infty}^x\!f_X(t)\, dt$ .

Функция $f_X$ называется плотностью распределения. Известно, что функция абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и, более того, если $f_X \in C(\mathbb{R})$ , то $F_X \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ , и

$\frac{d}{dx}F_X(x) = f_X(x),\; \forall x \in \mathbb{R}$ .

[править] Вариации и обобщения

Иногда в российской литературе берётся такое определение функции распределения:

$F_X(x) = \mathbb{P}( X < x ) \equiv \mathbb{P}^X\left((-\infty, x)\right)$ .

Определённая так функция распределения будет непрерывна слева, а не справа.

[править] Многомерные функции распределения

Пусть $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ фиксированное вероятностное пространство, и $X=(X_1,\ldots,X_n)\colon\Omega \to \mathbb{R}^N$ в случайный вектор. Тогда распределение $\mathbb{P}^X$ , называемое распределением случайного вектора $X \,$ или совместным распределением случайных величин $X_1,\ldots,X_n$ , является вероятностной мерой на $\mathbb{R}^n$ . Функция этого распределения $F_X\colon\mathbb{R}^n \to [0,1]$ задаётся по определению следующим образом:

$F_X(x_1,\ldots,x_n) = \mathbb{P}(X_1 \leqslant x_1 ,\ldots, X_n \leqslant x_n) \equiv \mathbb{P}^X \left(\prod\limits_{i=1}^n (-\infty,x_i]\right)$ ,

где $\prod$ в данном случае обозначает декартово произведение множеств.

Свойства многомерных функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на $\mathbb{R}^n$ и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для $n > 1$ .

[править] См. также

Плотность вероятности

[править] Примечания

в‘ Ширяев, А. Н. Вероятность. в М.: Наука, 1980. в С. 45, 166.

[0] в‘ Ширяев, А. Н. Вероятность. в М.: Наука, 1980. в С. 45, 166.

[1]

Функция распределения

Содержание

[править] Определение

[править] Свойства

[править] Тождества

[править] Дискретные распределения

[править] Непрерывные распределения

[править] Абсолютно непрерывные распределения

[править] Вариации и обобщения

[править] Многомерные функции распределения

[править] См. также

[править] Примечания

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках