GNU Free Documentation License . .

: ,

́ ́ , . (. ) .

[]

(\R,\mathcal{F},\mathbb{P}), X \mathbb{P}^X. X F_X\colon\mathbb{R} \to [0,1], :

F_X(x) = \mathbb{P}( X \leqslant x ) \equiv \mathbb{P}^X\left((-\infty, x]\right).

.. () X F(x), x \{X \leqslant x\}, .. , , X(\omega) \leqslant x.

[]

  • \mathbb{P}^X .
    • : F(x) , , F(x) .
  • , F_X F_X(x+) x\in \mathbb{R}, F_X(x) .
    • , F_X F_X(x-) x\in \mathbb{R}, . , F_X , .

[]

, \forall x \in \mathbb{R},\; \forall a,b\in \mathbb{R}, a < b:

  • \mathbb{P}(X > x ) = 1 - F_X(x);
  • \mathbb{P}(X < x ) = F_X(x-);
  • \mathbb{P}(X \geqslant x ) = 1 - F_X(x-);
  • \mathbb{P}( X = x ) = F_X(x) - F_X(x-);
  • \mathbb{P}(a < X \leqslant b ) = F_X(b) - F_X(a);
  • \mathbb{P}(a \leqslant X \leqslant b) = F_X(b) - F_X(a-);
  • \mathbb{P}(a < X < b ) = F_X(b-) - F_X(a);
  • \mathbb{P}(a \leqslant X < b ) = F_X(b-) - F_X(a-).

[]

X ,

\mathbb{P}(X = x_i) = p_i,\; i=1,2,\ldots,

F_X - :

F_X(x) = \sum\limits_{i\colon x_i \leqslant x} p_i.

x\in \mathbb{R}, x \not= x_i,\; \forall i, x = x_i,\; \forall i.

[]

\mathbb{P}^X , F_X. :

\mathbb{P}(X = x) = 0,\; \forall x \in \mathbb{R},

F_X(x-0) = F_X(x),\; \forall x \in \mathbb{R},

:

\mathbb{P}(X \in |a,b|) = F_X(b) - F_X(a),

|a,b| , , .

[]

\mathbb{P}^X , ( ) f_X(x), :

F_X(x) = \int\limits_{-\infty}^x\!f_X(t)\, dt.

f_X . , , , , f_X \in C(\mathbb{R}), F_X \in \mathcal{D}(\mathbb{R}),

\frac{d}{dx}F_X(x) = f_X(x),\; \forall x \in \mathbb{R}.

[]

:

F_X(x) = \mathbb{P}( X < x ) \equiv \mathbb{P}^X\left((-\infty, x)\right).

, .


[]

(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) , X=(X_1,\ldots,X_n)\colon\Omega \to \mathbb{R}^N  . \mathbb{P}^X, X \, X_1,\ldots,X_n, \mathbb{R}^n. F_X\colon\mathbb{R}^n \to [0,1] :

F_X(x_1,\ldots,x_n) = \mathbb{P}(X_1 \leqslant x_1 ,\ldots, X_n \leqslant x_n) \equiv \mathbb{P}^X \left(\prod\limits_{i=1}^n (-\infty,x_i]\right),

\prod .

. - \mathbb{R}^n . , , n > 1.

[] .

[]

  1. , . ..: , 1980.  . 45, 166.