Характеристическая функция случайной величины

Характеристи́ческая фу́нкция случа́йной величины́ в один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид. Также характеристические функции являются удобным инструментом для изучения вопросов слабой сходимости (сходимости по распределению).

Содержание

1 Определение
2 Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины
3 Свойства характеристических функций
4 Вычисление моментов
5 Обратное преобразование Фурье
6 См. также

[править] Определение

Пусть есть случайная величина $X$ с распределением $\mathbb{P}^X$ . Тогда характеристическая функция задаётся формулой:

$\phi_X(t) = \mathbb{E} \left[e^{itX}\right]$ .

Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение характеристической функции можно переписать в виде:

$\phi_X(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{itx}\, \mathbb{P}^X(dx)$ ,

то есть характеристическая функция в это обратное преобразование Фурье распределения случайной величины.

Если случайная величина $X$ принимает значения в произвольном гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$ , то её характеристическая функция имеет вид:

$\phi_{X}(t) = \mathbb{E}\left[e^{i \langle t, X \rangle }\right],\; \forall t \in \mathcal{H}$ ,

где $\langle \cdot, \cdot \rangle$ обозначает скалярное произведение в $\mathcal{H}$ .

[править] Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины

Если случайная величина $X$ дискретна, то есть $\mathbb{P}(X = x_k) = p_k,\; k=1,2,\ldots$ , то

$\phi_X(t) = \sum_{k=1}^{\infty} e^{itx_k}\, p_k$ .

Пример. Пусть $X$ имеет распределение Бернулли. Тогда

$\phi_X(t) = e^{it \cdot 1} \cdot p + e^{it \cdot 0} \cdot q = p e^{it} + q$ .

Если случайная величина $X$ абсолютно непрерывна, то есть она имеет плотность $f_X(x)$ , то

$\phi_X(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{itx}\, f_X(x)\, dx$ .

Пример. Пусть $X \sim U[0,1]$ имеет стандартное непрерывное равномерное распределение. Тогда

$\phi_X(t) = \int\limits_{0}^{1} e^{itx} \cdot 1\, dx = \left.\frac{e^{itx}}{it}\right\vert_0^1 = \frac{e^{it}-1}{it}$ .

[править] Свойства характеристических функций

Характеристическая функция однозначно определяет распределение. Пусть $X,Y$ суть две случайные величины, и $\phi_X(t) = \phi_Y(t),\; \forall t$ . Тогда $\mathbb{P}^X = \mathbb{P}^Y$ . В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение функций вероятности.
Характеристическая функция всегда ограничена:

$|\phi_X(t)| \leq 1$ .

Характеристическая функция в нуле равна единице:

$\phi_X(0) \ = 1$ .

Характеристическая функция всегда непрерывна: $\phi_X \in C(\mathbb{R})$ .
Характеристическая функция как функция случайной величины однородна:

$\phi_{aX}(t) = \phi_X(at),\; \forall a \in \mathbb{R}$ .

Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций. Пусть $X_1,\ldots, X_n$ суть независимые случайные величины. Обозначим $S_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i$ . Тогда

$\phi_{S_n}(t) = \prod\limits_{i=1}^n \phi_{X_i}(t)$ .

[править] Вычисление моментов

Если случайная величина $X$ имеет начальный $n$ -ый момент, то характеристическая функция имеет непрерывную $n$ -ю производную, то есть $\phi_X \in C^n(\mathbb{R})$ , и более того:

$i^n \left.\mathbb{E}\left[X^n\right] = \frac{d^n}{dt^n}\phi_X(t)\right\vert_{t=0}$ .

[править] Обратное преобразование Фурье

Пусть дана случайная величина $X$ , чья характеристическая функция равна $\phi_X(t) \$ . Тогда

если $X$ дискретна и принимает целые значения, то

$\mathbb{P}(X = k) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} e^{-itk}\, \phi_X(t)\, dt, \; k \in \mathbb{Z}$ ;

если $X$ абсолютно непрерывна, и $f_X(x)$ в её плотность, то

$f_X(x) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-itx}\, \phi_X(t)\, dt,\; x \in \mathbb{R}$ .

[править] См. также

Теорема Леви о непрерывности (метод характеристических функций).

Характеристическая функция случайной величины

Содержание

[править] Определение

[править] Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины

[править] Свойства характеристических функций

[править] Вычисление моментов

[править] Обратное преобразование Фурье

[править] См. также

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках