GNU Free Documentation License . .

: ,

́ ́ ́ ́  . , , , . ( ).

[]

X \mathbb{P}^X. :

\phi_X(t) = \mathbb{E} \left[e^{itX}\right].

, :

\phi_X(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{itx}\, \mathbb{P}^X(dx),

  .

X \mathcal{H}, :

\phi_{X}(t) = \mathbb{E}\left[e^{i \langle t, X \rangle }\right],\; \forall t \in \mathcal{H},

\langle \cdot, \cdot \rangle \mathcal{H}.

[]

X , \mathbb{P}(X = x_k) = p_k,\; k=1,2,\ldots,

\phi_X(t) = \sum_{k=1}^{\infty} e^{itx_k}\, p_k.

. X .

\phi_X(t) = e^{it \cdot 1} \cdot p + e^{it \cdot 0} \cdot q = p e^{it} + q.

X , f_X(x),

\phi_X(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{itx}\, f_X(x)\, dx.

. X \sim U[0,1] .

\phi_X(t) = \int\limits_{0}^{1} e^{itx} \cdot 1\, dx = \left.\frac{e^{itx}}{it}\right\vert_0^1 = \frac{e^{it}-1}{it}.

[]

  • . X,Y , \phi_X(t) = \phi_Y(t),\; \forall t. \mathbb{P}^X = \mathbb{P}^Y. , , . , .
  • :
|\phi_X(t)| \leq 1.
  • :
\phi_X(0) \ = 1.
  • : \phi_X \in C(\mathbb{R}).
  • :
\phi_{aX}(t) = \phi_X(at),\; \forall a \in \mathbb{R}.
  • . X_1,\ldots, X_n . S_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i.
\phi_{S_n}(t) = \prod\limits_{i=1}^n \phi_{X_i}(t).

[]

X n- , n- , \phi_X \in C^n(\mathbb{R}), :

i^n \left.\mathbb{E}\left[X^n\right] = \frac{d^n}{dt^n}\phi_X(t)\right\vert_{t=0}.

[]

X, \phi_X(t) \ .

  • X ,
\mathbb{P}(X = k) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} e^{-itk}\, \phi_X(t)\, dt, \; k \in \mathbb{Z};
  • X , f_X(x) ,
f_X(x) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-itx}\, \phi_X(t)\, dt,\; x \in \mathbb{R}.

[] .

  • ( ).