Целое число

Множество целых чисел (от ср.-лат. cifra от араб. صفرвЋвЋ (б№Јifr) «пустой, нуль») в $\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}$ , определяется как замыкание множества натуральных чисел $\mathbb{N}$ относительно арифметических операций сложения (+) и вычитания (в). Таким образом, сумма, разность и произведение двух целых чисел дает снова целые числа. Оно состоит из натуральных чисел (1, 2, 3...), чисел вида $-n \;(n\in\mathbb{N})$ и числа нуль.

Необходимость рассмотрения целых чисел продиктована невозможностью (в общем случае) вычесть из одного натурального числа другое. Целые числа являются кольцом относительно операций сложения и умножения.

Отрицательные числа ввели в математический обиход Михаэль Штифель (1487в1567) в книге «Полная арифметика» (1544), и Николя Шюке (1445в1500).

[править] Алгебраические свойства

$\mathbb{Z}$ не замкнуто относительно деления двух целых чисел (например, 1/2). Следующая таблица иллюстрирует несколько основных свойств сложения и умножения для любых целых a, b и c.

	сложение	умножение
замкнутость:	a + b в целое	a × b в целое
ассоциативность:	a + (b + c) = (a + b) + c	a × (b × c) = (a × b) × c
коммутативность:	a + b = b + a	a × b = b × a
существование нейтрального элемента:	a + 0 = a	a × 1 = a
существование противоположного элемента:	a + (вa) = 0	a в‰ ±1 1/a не является целым
дистрибутивность умножения относительно сложения:	a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

На языке абстрактной алгебры первые пять вышеперечисленных свойств сложения говорят о том, что $\mathbb{Z}$ является абелевой группой относительно бинарной операции сложения, и, следовательно, также циклической группой, так как каждый ненулевой элемент $\mathbb{Z}$ может быть записан в виде конечной суммы 1 + 1 + в 1 или (в1) + (в1) + в + (в1). Фактически, $\mathbb{Z}$ является единственной бесконечной циклической группой по сложению в силу того, что любая бесконечная циклическая группа изоморфна группе $(\mathbb{Z},+)$ .

Первые четыре свойства умножения говорят о том, что $\mathbb{Z}$ в коммутативный моноид по умножению. Однако стоит заметить, что не каждое целое имеет противоположное по умножению, например, нет такого x из $\mathbb{Z}$ , что 2x = 1, так как левая часть уравнения чётна, а правая нечётна. Из этого следует, что $\mathbb{Z}$ не является группой по умножению, а также не является полем. Наименьшее поле, содержащее целые числа, в множество рациональных чисел ( $\mathbb{Q}$ ).

Совокупность всех свойств таблицы означает, что $\mathbb{Z}$ является коммутативным кольцом с единицей относительно сложения и умножения.

Обычное деление не определено на множестве целых чисел, но определено так называемое деление с остатком: для любых целых a и b, $b \not= 0$ , существует единственный набор целых чисел q и r, что a = bq + r и $0 \le r < |b|$ , где |b| в абсолютная величина (модуль) числа b. Здесь a в делимое, b в делитель, q в частное, r в остаток. На этой операции основан алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел.

[править] Теоретико-множественные свойства

$\mathbb{Z}$ в линейно упорядоченное множество без верхней и нижней границ. Порядок в нём задаётся соотношениями:

в < в2 < в1 < 0 < 1 < 2 < в

Целое число называется положительным, если оно больше нуля, отрицательным, если меньше нуля. Нуль не является положительным или отрицательным.

Для целых чисел справедливы следующие соотношения:

если a < b и c < d, тогда a + c < b + d.
если a < b и 0 < c, тогда ac < bc. (Отсюда легко показать, что если c < 0, то ac > bc.)

[править] Целые числа в вычислительной технике

Тип целое число в зачастую один из основных типов данных в языках программирования. Тем не менее эти «целые числа» в лишь имитация класса $\mathbb{Z}$ в математике, так как это множество бесконечно и всегда найдётся целое число, которое данный компьютер не сможет хранить в своей памяти. Целые типы данных обычно реализуются как фиксированный набор битов, но любые представления в конце концов приведут к тому, что свободное место на носителе (жёстком диске) закончится. С другой стороны, теоретические модели цифровых компьютеров имеют потенциально бесконечное (но счётное) пространство.

[править] См. также

$1,\;2,\;\ldots$

Натуральные числа

$0,\;1,\;-1,\;\ldots$

Целые числа

$1,\;-1,\;\frac{1}{2},\;\frac{2}{3},\;0{,}12,\;\ldots$

Рациональные числа

$1,\;-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;\sqrt{2},\;\ldots$

Вещественные числа

$-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;3i+2,\;e^{i\pi/3},\;\ldots$

Комплексные числа

$1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-\frac{1}{2}k,\;\dots$

Кватернионы

Число

[править] Ссылки

http://Lib.Mexmat.Ru в «Поиск книг по теме» http://cyberrich.narod.ru/16.htm

Числовые системы
Счётные множества	Натуральные числа ( $\scriptstyle\mathbb{N}$ ) Целые ( $\scriptstyle\mathbb{Z}$ ) Рациональные ( $\scriptstyle\mathbb{Q}$ ) Алгебраические ( $\scriptstyle\overline{\mathbb{Q}}$ ) Периоды Вычислимые Арифметические
Вещественные числа и их расширения	Вещественные ( $\scriptstyle\mathbb{R}$ ) Комплексные ( $\scriptstyle\mathbb{C}$ ) Кватернионы ( $\scriptstyle\mathbb{H}$ ) Числа Кэли (октавы, октонионы) ( $\scriptstyle\mathbb{O}$ ) Седенионы ( $\scriptstyle\mathbb{S}$ ) Альтернионы Процедура Кэли в Диксона Дуальные Гиперкомплексные Суперреальные Гиперреальные Surreal number (англ.)
Другие числовые системы	Кардинальные числа Порядковые числа (трансфинитные, ординал) p-адические Супернатуральные числа
См. также	Двойные числа Иррациональные числа Трансцендентные Числовой луч Бикватернион

Целое число

Содержание

[править] Алгебраические свойства

[править] Теоретико-множественные свойства

[править] Целые числа в вычислительной технике

[править] См. также

[править] Ссылки

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках