Цилиндрические параболические координаты

Координатные поверхности в координатах параболического цилиндра.

Цилиндрические параболические координаты (координаты параболического цилиндра) $(u,\;v,\;z)$ в система координат, обобщающая параболические координаты на трёхмерный случай путём добавления третьей (декартовой) координаты $\ z$, то есть аппликаты.

Существует несколько вариантов ориентации этих координат. Наиболее распространённой является ориентация соответствующая

$\begin{cases} x=\dfrac{c}{2}(u^2-v^2), \\ y=cuv, \\ z=z, \end{cases}$

где $c>0$ в размерный множитель.

Поверхности уровня $u=\mathrm{const}$ и $v=\mathrm{const}$ суть параболические цилиндры, образующие которых параллельны оси $z$.

Связь с другими системами координат

Прямоугольная система координат $(x,\;y,\;z)$

$\begin{cases} x=\dfrac{c}{2}(u^2-v^2), \\ y=cuv, \\ z=z, \end{cases}$

Цилиндрическая система координат $(\rho,\;\varphi,\;z)$

$\begin{cases} \rho=\dfrac{c}{2}(u^2+v^2), \\ \varphi=\mathrm{arctg}\left(\dfrac{2uv}{u^2-v^2}\right), \\ z=z. \end{cases}$

Коэффициенты Ламе

Коэффициенты Ламе в данных координатах имеют следующий вид:

$\begin{cases} H_u=c\sqrt{u^2+v^2}, \\ H_v=c\sqrt{u^2+v^2}, \\ H_z=1. \end{cases}$

Выражение основных дифференциальных операторов

Градиент

$\mathrm{grad}\,F(u,\;v,\;z)=\frac{1}{c\sqrt{u^2+v^2}}\left(\frac{\partial F}{\partial u}\vec{e}_u+\frac{\partial F}{\partial v}\vec{e}_v \right)+\frac{\partial F}{\partial z}\vec{e}_z.$

Дивергенция

$\mathrm{div}\vec A(u,\;v,\;z)=\frac{1}{c(u^2+v^2)}\left[\frac{\partial }{\partial u}\left(\sqrt{u^2+v^2}A_u\right)+\frac{\partial}{\partial v}\left(\sqrt{u^2+v^2}A_v\right)\right]+\frac{\partial A_z}{\partial z}.$

Ротор

$\mathrm{rot}\,\vec A=\frac{1}{c\sqrt{u^2+v^2}}\left[\frac{\partial}{\partial v}A_z-\frac{\partial}{\partial z}(c\sqrt{u^2+v^2}A_v)\right]\vec e_u+\frac{1}{c\sqrt{u^2+v^2}}\left[\frac{\partial}{\partial z}(c\sqrt{u^2+v^2}A_u)-\frac{\partial}{\partial u}A_z\right]\vec e_v+$

$+\frac{1}{c(u^2+v^2)}\left[\frac{\partial}{\partial u}(c\sqrt{u^2+v^2}A_v)-\frac{\partial}{\partial v}(c\sqrt{u^2+v^2}A_u)\right]\vec e_z.$

Лапласиан

$\Delta F(u,\;v,\;z)=\frac{1}{c^2(u^2+v^2)}\left[\frac{\partial^2 F}{\partial u^2}+\frac{\partial^2 F}{\partial v^2}\right]+\frac{\partial^2 F}{\partial z^2}.$

См. также

• Прямоугольная (Декартова) система координат
• Аффинная (косоугольная) система координат
• Координаты Риндлера в в пространстве Минковского
• Барицентрические координаты
• Биангулярные координаты
• Полярная система координат
• Цилиндрическая система координат
• Сферическая система координат
• Тороидальная система координат
• Цилиндрические параболические координаты
• Параболические координаты
• Бицентрические координаты
• Биполярные координаты
• Бицилиндрические координаты
• Биангулярные координаты
• Трилинейные координаты
• Проективные координаты
• Эллипсоидальные координаты (эллиптические координаты)
• Конические координаты

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Parabolic Cylindrical Coordinates (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.