Число

У этого термина существуют и другие значения, см. Число (значения).

Число́ в абстракция, используемая для количественной характеристики и нумерации объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа изменялось и обогащалось и превратилось в важнейшее математическое понятие. Письменными знаками (символами) для записи чисел служат цифры.

Содержание

1 Основные классы чисел
2 Обобщения чисел
3 Представление чисел в памяти компьютера
4 См. также
5 Литература
6 Примечания
7 Ссылки

[править] Основные классы чисел

Натуральные числа, получаемые при естественном счёте; множество натуральных чисел обозначается $\mathbb{N}$ . Т.е. $\mathbb{N}=\left\{1, 2, 3, ...\right\}$ (иногда к множеству натуральных чисел также относят ноль, то есть $\mathbb{N}=\left\{0, 1, 2, 3, ...\right\}$ ). Натуральные числа замкнуты относительно сложения и умножения (но не вычитания или деления). Сложение и умножение натуральных чисел коммутативны и ассоциативны, а умножение натуральных чисел дистрибутивно относительно сложения и вычитания.

Важным подмножеством натуральных чисел являются простые числа $\mathbb{P}.$ Простое число в это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Все остальные натуральные числа, кроме единицы, называются составными. Ряд простых чисел начинается так: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...$ ^[1] Любое натуральное число, большее единицы, представимо в виде произведения простых чисел, причём единственным способом с точностью до порядка следования сомножителей. Например, 121968=2⁴·3²·7·11².

Целые числа, получаемые объединением натуральных чисел с множеством отрицательных чисел и нулём, обозначаются $\mathbb{Z}=\left\{...-2, -1, 0, 1, 2, ...\right\}$ . Целые числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения (но не деления).

Рациональные числа в числа, представленные в виде дроби m/n (nв‰ 0), где m в целое число, а n в натуральное число. Рациональные числа замкнуты уже относительно всех четырёх арифметических действий: сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на ноль). Для обозначения рациональных чисел используется знак $\mathbb{Q}$ .

Действительные (вещественные) числа представляют собой расширение множества рациональных чисел, замкнутое относительно некоторых (важных для математического анализа) операций предельного перехода. Множество вещественных чисел обозначается $\mathbb{R}$ . Его можно рассматривать как пополнение поля рациональных чисел $\mathbb{Q}$ при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величины. Кроме рациональных чисел, $\mathbb{R}$ включает множество иррациональных чисел $\mathbb I$ , не представимых в виде отношения целых.

Комплексные числа $\mathbb{C}$ , являющиеся расширением множества действительных чисел. Они могут быть записаны в виде $z = x + iy$ , где i в т. н. мнимая единица, для которой выполняется равенство $i^2=-1$ . Комплексные числа используются при решении задач квантовой механики, гидродинамики, теории упругости и пр. Комплексные числа подразделяются на алгебраические и трансцендентные. При этом каждое действительное трансцендентное является иррациональным, а каждое рациональное число в действительным алгебраическим. Более общими (но всё ещё счётными) классами чисел, чем алгебраические, являются периоды, вычислимые и арифметические числа (где каждый последующий класс шире, чем предыдущий).

Для перечисленных множеств чисел справедливо следующее выражение: $\mathbb{P}\subset \mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}.$

[править] Обобщения чисел

Кватернионы представляющие собой разновидность гиперкомплексных чисел. Множество кватернионов обозначается $\mathbb{H}$ . Кватернионы в отличие от комплексных чисел не коммутативны относительно умножения.

В свою очередь октавы $\mathbb{O}$ , являющиеся расширением кватернионов, уже теряют свойство ассоциативности.

В отличие от октав, седенионы $\mathbb{S}$ не обладают свойством альтернативности, но сохраняют свойство степенной ассоциативности.

Для этих множеств обобщённых чисел справедливо следующее выражение: $\mathbb{C}\subset \mathbb{H}\subset \mathbb{O}\subset \mathbb{S}$

p-адические числа $\Q_p$ можно рассматривать как элементы поля, являющегося пополнением поля рациональных чисел $\mathbb{Q}$ при помощи т. н. p-адического нормирования, аналогично тому, как поле действительных чисел $\mathbb{R}$ определяется как его пополнение при помощи обычной абсолютной величины.

Аде́ли определяются как бесконечные последовательности {a_в€,a₂,a₃,вa_pв}, где a_в€ в любое действительное число, а a_p в p-адическое, причём все a_p, кроме, может быть, конечного их числа, являются целыми p-адическими. Складываются и умножаются адели покомпонентно и образуют кольцо. Поле рациональных чисел вкладывается в это кольцо обычным образом r{r, r,вr,в}. Обратимые элементы этого кольца образуют группу и называются иде́лями.

Практически важным обобщением числовой системы является интервальная арифметика.

[править] Представление чисел в памяти компьютера

подробнее см. Прямой код, Дополнительный код (представление числа), Число с плавающей запятой

Для представления натурального числа в памяти компьютера, оно обычно переводится в двоичную систему счисления. Для представления отрицательных чисел используется т. н. дополнительный код числа, который получается путём прибавления единицы к инвертированному представлению модуля данного отрицательного числа в двоичной системе счисления.

Представление действительных чисел в памяти компьютера имеет некоторые ограничения связанные с используемой системой счисления, а также ограниченностью объёма памяти, выделяемого под числа. Действительные числа обычно представляются в виде чисел с плавающей запятой. При этом лишь некоторые из действительных чисел могут быть представлены в памяти компьютера точным значением, в то время как остальные числа представляются приближёнными значениями. В наиболее распространённом формате число с плавающей запятой представляется в виде последовательности битов, часть из которых кодирует собой мантиссу числа, другая часть в показатель степени, и ещё один бит используется для указания знака числа.

[править] См. также

[править] Литература

А. А. Кириллов, Что такое число?, выпуск 4 серии «Современная математика для студентов», М., Физматлит, 1993.
Л. С. Понтрягин, Обобщения чисел, серия «Математическая библиотечка» М., Наука, 1965.
Л. Я. Жмудь. «Все есть число»? (К интерпретации «основной доктрины» пифагореизма) // Mathesis. Из истории античной науки и философии. М., 1991, с. 55-74.

[править] Примечания

в‘ последовательность A000040 в OEIS

[править] Ссылки

$1,\;2,\;\ldots$

Натуральные числа

$0,\;1,\;-1,\;\ldots$

Целые числа

$1,\;-1,\;\frac{1}{2},\;\frac{2}{3},\;0{,}12,\;\ldots$

Рациональные числа

$1,\;-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;\sqrt{2},\;\ldots$

Вещественные числа

$-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;3i+2,\;e^{i\pi/3},\;\ldots$

Комплексные числа

$1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-\frac{1}{2}k,\;\dots$

Кватернионы

[0] в‘ последовательность A000040 в OEIS

[1]

Числовые системы
Счётные множества	Натуральные числа ( $\scriptstyle\mathbb{N}$ ) Целые ( $\scriptstyle\mathbb{Z}$ ) Рациональные ( $\scriptstyle\mathbb{Q}$ ) Алгебраические ( $\scriptstyle\overline{\mathbb{Q}}$ ) Периоды Вычислимые Арифметические
Вещественные числа и их расширения	Вещественные ( $\scriptstyle\mathbb{R}$ ) Комплексные ( $\scriptstyle\mathbb{C}$ ) Кватернионы ( $\scriptstyle\mathbb{H}$ ) Числа Кэли (октавы, октонионы) ( $\scriptstyle\mathbb{O}$ ) Седенионы ( $\scriptstyle\mathbb{S}$ ) Альтернионы Процедура Кэли в Диксона Дуальные Гиперкомплексные Суперреальные Гиперреальные Surreal number (англ.)
Другие числовые системы	Кардинальные числа Порядковые числа (трансфинитные, ординал) p-адические Супернатуральные числа
См. также	Двойные числа Иррациональные числа Трансцендентные Числовой луч Бикватернион

Числа с собственными именами
Вещественные	Пи Золотое сечение Серебряное сечение e (число Эйлера) Постоянная Эйлера в Маскерони Постоянные Фейгенбаума Постоянная Гельфонда Константа Бруна Постоянная Каталана Постоянная Апери
Натуральные	Чёртова дюжина Число зверя Число Рамануджана в Харди Число Грэма Число Скьюза Число Мозера
Степени десяти	Мириада Гугол Асанкхейя Гуголплекс
Степени тысячи	Тысяча Миллион Миллиард Биллион Триллион в Центиллион Зиллион
Степени двенадцати	Дюжина Гросс Масса

Число

Содержание

[править] Основные классы чисел

[править] Обобщения чисел

[править] Представление чисел в памяти компьютера

[править] См. также

[править] Литература

[править] Примечания

[править] Ссылки

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках