Нечётные и чётные функции

Нечётными и чётными называются функции, графики которых обладают симметрией относительно изменения знака аргумента. Это понятие важно во многих областях математического анализа, таких как теория степенных рядов и рядов Фурье. Такое название возникло как обобщение чётности степенных функций: функция f(x) = xⁿ чётна тогда и только тогда, когда n чётно, и нечётна тогда и только тогда, когда n нечётно.

$f(x) = x$ в пример нечётной функции.

$f(x) = x^2$ в пример чётной функции.

$f(x) = x^3,$ нечётная

$f(x) = x^3+1$ ни чётная, ни нечётная.

Другие определения:

Нечётная функция в функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно центра координат).
Чётная функция в функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно оси ординат).
Индифферентная функция^{[источник не указан 54 дня]} в функция, не обладающая симметрией. В эту категорию относят функции не подпадающие под предыдущие 2 категории.

Содержание

1 Определения
2 Свойства
3 Примеры
- 3.1 Нечётные функции
- 3.2 Чётные функции
4 Вариации и обобщения

[править] Определения

Определения вводятся для любой симметричной относительно нуля области определения $X \subset \mathbb{R}$ , например, отрезка или интервала.

Функция $f$ называется чётной, если справедливо равенство

$f(-x) = f(x),\quad \forall x \in X.$

Функция $f:X \to \mathbb{R}$ называется нечётной, если справедливо равенство

$f(-x)=-f(x), \quad \forall x \in X.$

Если не выполняется ни одно из этих равенств, то функция называется индифферентной^{[источник не указан 54 дня]}

(или функцией общего вида).

[править] Свойства

График нечётной функции симметричен относительно начала координат $O$ .
График чётной функции симметричен относительно оси ординат $Oy$ .
Произвольная функция $f:[-X,X] \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ может быть единственным образом представлена в виде суммы нечётной и чётной функций:

$f(x) = g(x) + h(x),$

где

$g(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2},\; h(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}.$

Функция $f(x) \equiv 0$ в единственная функция, одновременно являющаяся нечётной и чётной.
Сумма, разность и вообще любая линейная комбинация чётных функций чётна, а нечётных в нечётна.
Функция, обратная чётной, чётна, а нечётной в нечётна.
Произведение двух функций одной чётности чётно.
Произведение двух функций разной чётности нечётно.
Композиция двух нечётных функций нечётна.
Композиция чётной функции с чётной/нечётной чётна.
Композиция любой функции с чётной чётна (но не наоборот!).
Производная чётной функции нечётна, а нечётной в чётна.
- То же верно про производную третьего, пятого и вообще любого нечётного порядка.
Производная чётного порядка имеет ту же чётность, что и первоначальная функция.

[править] Примеры

[править] Нечётные функции

Нечётная степень $f(x) = x^{2k+1},\quad x\in \mathbb{R}$ где $k\in \mathbb{Z}$ в произвольное целое число.
Синус $f(x) = \sin x,\quad x \in \mathbb{R}$ .
Тангенс $f(x) = \operatorname{tg} x,\quad x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ .

[править] Чётные функции

Чётная степень $f(x) = x^{2k},\quad x\in \mathbb{R}$ где $k\in \mathbb{Z}$ в произвольное целое число.
Косинус $f(x) = \cos x,\quad x \in \mathbb{R}$ .
Абсолютная величина (модуль) $f(x)=|x|$ .

[править] Вариации и обобщения

Понятие чётности и нечётности функций естественно обобщаются на случай отображений между векторными пространствами.

Нечётные и чётные функции

Содержание

[править] Определения

[править] Свойства

[править] Примеры

[править] Нечётные функции

[править] Чётные функции

[править] Вариации и обобщения

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках