Шар

Запрос «Шар» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

шар

Шар в геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся на расстоянии, которое не больше заданного, от центра. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра в полюсами шара. Поверхность шара называется сферой.

Содержание

1 Ссылки
2 Связанные определения
3 Основные геометрические формулы
4 Определения
- 4.1 Замечания
5 Свойства
6 Примеры
7 Вариации и обобщения
- 7.1 Определения
- 7.2 Замечания
8 Свойства
9 См. также
10 Ссылки на онлайн калькуляторы

[править] Ссылки

Математические этюды Мультик про объём шара

[править] Связанные определения

Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами. Площадь этих сечений вычисляется по формуле πR².

[править] Основные геометрические формулы

Площадь поверхности $S$ и объём $V$ шара радиуса $r$ определяются формулами:

$S = \ 4\pi r^2$

$S = \ \pi d^2$

$V = \frac{4}{3} \pi r^3$

Доказательство

Возьмём четверть круга радиуса R с центром в точке $\left ( R; 0\right )$ . Уравнение окружности этого круга : $(x-R)^2 + y^2 = R^2$ , откуда $y^2 = 2Rx-x^2$ .

Функция $y=\sqrt{2Rx-x^2}, x \in (0;R)$ непрерывная, возрастающая, неотрицательная. При вращении четверти круга вокруг оси Ox образуется полушар, следовательно:

${1 \over 2} V = \pi \int\limits_0^R (2Rx-x^2)dx = \pi \cdot \Bigl. \left ( Rx^2 - \frac {x^3} {3} \right ) \Bigr|_0^R= \pi \cdot ( R^3-\frac {R^3} {3} ) = \frac {2} {3} \pi R^3$

Откуда $V=\frac {4} {3} \pi R^3$ Ч. т. д.

$V = \frac{\pi d^3}{6}$

Доказательство

$d=2R, V={4 \over 3} \pi R^3 = {4 \over 3} \pi \left ( {d \over 2} \right )^3 = {4 \over 3} \pi \frac {d^3} {8} = \frac {\pi d^3} {6}$ Ч. т. д.

Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.

[править] Определения

Пусть дано метрическое пространство $(X,\rho)$ . Тогда

Шаром (или открытым шаром) с центром в точке $x_0\in X$ и радиусом $r>0$ называется множество

$B_r(x_0) = \{x \in X \mid \rho(x,x_0) < r\}.$

Замкнутым шаром с центром в $x_0$ и радиусом $r$ называется множество

$D_r(x_0) = \{x \in X \mid \rho(x,x_0) \leqslant r\}.$

[править] Замечания

Шар радиуса $r$ с центром $x_0$ также называют $r$ -окрестностью точки $x_0$ .

[править] Свойства

Шар является открытым множеством в топологии, порождённой метрикой $\rho$ .
Замкнутый шар в замкнутым множеством в топологии, порождённой метрикой $\rho$ .
По определению такой топологии открытые шары с центрами в любой точке $X$ являют собой её базу.
Очевидно, . Однако, вообще говоря, замыкание открытого шара может не совпадать с замкнутым шаром:
- Например: пусть $(X,\rho)$ в дискретное метрическое пространство, и $X$ состоит из более, чем двух точек. Тогда для любого $x\in X$ имеем:

$B_1(x) = \{x\},\; \overline{B_1(x)} = \{x\},\; D_1(x) = X.$

[править] Примеры

Пусть $\mathbb{R}^d$ в евклидово пространство с обычным Евклидовым расстоянием. Тогда

если $d=1$ (пространство в прямая), то

$B_r(x_0) = \{x\in \Bbb R \mid |x - x_0| < r\} = \left(x_0 - {r}, x_0 + {r}\right),$

$D_r(x_0) = \{x\in \Bbb R \mid |x - x_0| \le r\} = \left[x_0 - {r}, x_0 + {r}\right].$

в открытый и замкнутый отрезок соответственно.

если $d=2$ (пространство в плоскость), то

$B_r((x_0,y_0)) = \left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < r \right\},$

$D_r((x_0,y_0)) = \left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} \leq r \right\}$

в открытый и замкнутый диск соответственно.

если $d=3$ , то

$B_r((x_0,y_0,z_0)) = \left\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2} < r \right\},$

$D_r((x_0,y_0,z_0)) = \left\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2} \leq r \right\}$

в открытый и замкнутый стереометрический шар соответственно.

В иных метриках шар может иметь иную геометрическую форму. Например, определим в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^d$ метрику следующим образом:

$\rho(x,y) = \sum\limits_{i=1}^d \|x_i-y_i\|,\quad x = (x_1,\ldots, x_d)^{\top},y=(y_1,\ldots,y_d)^{\top}\in \mathbb{R}^d.$

Тогда

если $d=2$ , то $U_r(x_0)$ в это открытый квадрат с центром в точке $x_0$ и сторонами длины $\sqrt{2}$ , расположенными по диагонали к координатным осям.
если $d=3$ , то $U_r(x_0)$ в это открытый трёхмерный октаэдр.

[править] Вариации и обобщения

Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.

[править] Определения

Пусть дано метрическое пространство $(X,\rho)$ . Тогда

Шаром (или открытым шаром) с центром в точке $x_0\in X$ и радиусом $r>0$ называется множество

$B_r(x_0) = \{x \in X \mid \rho(x,x_0) < r\}.$

Замкнутым шаром с центром в $x_0$ и радиусом $r$ называется множество

$D_r(x_0) = \{x \in X \mid \rho(x,x_0) \leqslant r\}.$

[править] Замечания

Шар радиуса $r$ с центром $x_0$ также называют $r$ -окрестностью точки $x_0$ .

[править] Свойства

Шар является открытым множеством в топологии, порождённой метрикой $\rho$ .
Замкнутый шар в замкнутым множеством в топологии, порождённой метрикой $\rho$ .
По определению такой топологии открытые шары с центрами в любой точке $X$ являют собой её базу.
Очевидно, . Однако, вообще говоря, замыкание открытого шара может не совпадать с замкнутым шаром:
- Например: пусть $(X,\rho)$ в дискретное метрическое пространство, и $X$ состоит из более, чем двух точек. Тогда для любого $x\in X$ имеем:

$B_1(x) = \{x\},\; \overline{B_1(x)} = \{x\},\; D_1(x) = X.$

[править] См. также

[править] Ссылки на онлайн калькуляторы

Вычисление объема и площади шара

Это заготовка статьи по геометрии. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Шар

Содержание

[править] Ссылки

[править] Связанные определения

[править] Основные геометрические формулы

[править] Определения

[править] Замечания

[править] Свойства

[править] Примеры

[править] Вариации и обобщения

[править] Определения

[править] Замечания

[править] Свойства

[править] См. также

[править] Ссылки на онлайн калькуляторы

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках