Экстремум

Экстре́мум (лат. extremum в крайний) в математике в максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум в точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум в точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Определения

Пусть дана функция $f:M \subset \R \to \R,$ и $x_0 \in M^0$ в внутренняя точка области определения $f.$ Тогда

• $x_0$ называется точкой локального максимума функции $f,$ если существует проколотая окрестность $\dot{U}(x_0)$ такая, что

  $\forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \le f(x_0);$

• $x_0$ называется точкой локального минимума функции $f,$ если существует проколотая окрестность $\dot{U}(x_0)$ такая, что

  $\forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \ge f(x_0).$

Если неравенства выше строгие, то $x_0$ называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.

• $x_0$ называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если

  $\forall x\in M\quad f(x) \le f(x_0);$

• $x_0$ называется точкой абсолютного минимума, если

  $\forall x\in M\quad f(x) \ge f(x_0).$

Значение функции $f(x_0)$ называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

Замечание

Функция $f,$ определённая на множестве $M,$ может не иметь на нём ни одного локального или абсолютного экстремума. Например, $f(x) = x,\; x\in (-1,1).$

Необходимые условия существования локальных экстремумов

• Из леммы Ферма вытекает следующее:

Пусть точка $x_0$ является точкой экстремума функции $~f$, определенной в некоторой окрестности точки $x_0$.

Тогда либо производная $~f'(x_0)$ не существует, либо $~f'(x_0) = 0$.

(Математический Анализ. Том 1. Л. Д. Кудрявцев. Москва «Высшая Школа» 1973 г.)

Достаточные условия существования локальных экстремумов

• Пусть функция $f\in C(x_0)$ непрерывна в $x_0\in M^0,$ и существуют конечные или бесконечные односторонние производные $~f'_+(x_0), f'_-(x_0)$. Тогда при условии

$f'_+(x_0) < 0,\; f'_-(x_0) > 0$

$x_0$ является точкой строгого локального максимума. А если

$f'_+(x_0) > 0,\; f'_-(x_0) < 0,$

то $x_0$ является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке $x_0$

• Пусть функция $f$ непрерывна и дважды дифференцируема в точке $x_0$. Тогда при условии

$~f'(x_0)=0$ и $~f''(x_0) < 0$

$x_0$ является точкой локального максимума. А если

$~f'(x_0)=0$ и $~f''(x_0) > 0$

то $x_0$ является точкой локального минимума.

См. также

• Критическая точка (математика)
• Методы оптимизации
• Условный экстремум