�������

������́� (������������ ���́��, �������������� ������������) � ������������ ������� �����:

$\det \begin{pmatrix} {\partial u_1 \over \partial x_1}(x) & {\partial u_1 \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_1 \over \partial x_n}(x) \\ {\partial u_2 \over \partial x_1}(x) & {\partial u_2 \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_2 \over \partial x_n}(x) \\ \cdots & \cdots & \cdots &\cdots \\ {\partial u_m \over \partial x_1}(x) & {\partial u_m \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_m \over \partial x_n}(x) \end{pmatrix}$

��� ��������� ������� $\mathbf{u}:\R^n\to\R^m, \mathbf{u}=(u_1, \ldots ,u_m), u_i = u_i(x_1, \ldots , x_n), i = 1, \ldots , m ,$ ������� � ��������� ����� $x$ ��� ������� ����������� ������� ������� (������������ ����� ��� ������� ������� ������� $u_1, \ldots, u_n$).

����� ��������� ������ (��-������ ����� ������������ ������� �� ������ �������) �������� ���� ������� �����, � �� � ������������. ��-��������� � � ��������� ������ ������ ������ ������� ��������� ����� ���������� � ������� ����� � � ������������.

• ����� ������������ ��������� ����������� ��������:

$\frac{D(u_1,\dots,u_m)}{D(x_1,\dots,x_n)}$ ��� $\frac{\partial(u_1,\dots,u_m)}{\partial(x_1,\dots,x_n)}$

• ������������ ����� ������ �������� ��� ������ m = n, �� ���� ��� ���������� ������ �����; ��� m ≠ n ��� ����� ������� ���� (� ���������� ������������� ������� ����� ������������ ��� ���� ������ �� ����������).

����� � ���������� ������������ �����

���� ������� $\tilde x_1(x_1,\dots,x_n), \ldots, \tilde x_n(x_1,\dots,x_n)$ ���������� �������������� ��������� $x_i \rightarrow \tilde x_j$, �� ����� ������������ ����� ������� � ��������� ������� «������������ ����������������», ��������� �� $d\tilde x_1, d\tilde x_2, \dots, d\tilde x_n$ � �� $dx_1, dx_2, \dots, dx_n$ ��� ��������� ������������ $d\tilde x_1 d\tilde x_2, \dots, d\tilde x_n = dx_1 dx_2, \dots, dx_n$.

�������� ����������

1. ������� ����� ����������� ��� ������� ������� �������
2. ��������� ������������ ����� ���� ������ ������� ����������� � ����������� �������� ������������� �������������� ���������, � ����������� ��� ���� � ����������� � ����������� �������� ���������������.
3. �������� �� ������� ��� ������������� �������������� ��������� $\tilde x_j \rightarrow x_i$ ������������� ���

$\int\limits_{\tilde \Omega} f(\tilde x_1,\tilde x_2,\dots,\tilde x_n) d\tilde x_1 d\tilde x_2 \dots d\tilde x_n =$

$= \int\limits_{\Omega} f(\tilde x_1(x_1,x_2,\dots,x_n),\tilde x_2(x_1,x_2,\dots,x_n),\dots,\tilde x_n(x_1,x_2,\dots,x_n)) \bigg|\frac{D(\tilde x_1,\tilde x_2,\dots,\tilde x_n)}{D(x_1,x_2,\dots,x_n)}\bigg| dx_1 dx_2 \dots dx_n$

(������� ������ ���������� � n-������ ���������).

������

���������� � ������

• ������� ��������

• ����� ������� ������ � ����������� ������� ��������