Ячейки Бенара

Механика сплошных сред

Сплошная среда Классическая механика Закон сохранения массы · Закон сохранения импульса Теория упругости Напряжение · Тензор · Твёрдые тела · Упругость · Пластичность · Закон Гука · Реология · Вязкоупругость Гидродинамика Жидкость · Гидростатика · Гидродинамика · Вязкость · Ньютоновская жидкость · Неньютоновская жидкость · Поверхностное натяжение Основные уравнения Уравнение непрерывности · Уравнение Эйлера · Уравнения Навье в Стокса · Уравнение диффузии · Закон Гука Известные учёные Ньютон · Гук Бернулли · Эйлер · Коши · Стокс · Навье

См. также «Физический портал»

Ячейки Бенара в гравитационном поле.

Ячейки Бенара или Рэлея в Бенара в возникновение упорядоченности в виде конвективных ячеек в форме цилиндрических валов или правильных шестигранных структур в слое вязкой жидкости с вертикальным градиентом температуры, то есть равномерно подогреваемой снизу.

Ячейки Рэлея в Бенара являются одним из трёх стандартных примеров самоорганизации, наряду с лазером и реакцией Белоусова в Жаботинского.

Управляющим параметром самоорганизации служит градиент температуры. Вследствие подогрева в первоначально однородном слое жидкости начинается диффузия из-за возникшей неоднородности плотности. При преодолении некоторого критического значения градиента, диффузия не успевает привести к однородному распределению температуры по объёму. Возникают цилиндрические валы, вращающиеся навстречу друг другу (как сцепленные шестеренки). При увеличении градиента температуры возникает второй критический переход. Для ускорения диффузии каждый вал распадается на два вала меньшего размера. При дальнейшем увеличении управляющего параметра валы дробятся и в пределе возникает турбулентный хаос, что отчетливо видно на бифуркационной диаграмме или дереве Фейгенбаума.

В тонком слое при подогреве снизу образуются ячейки правильной гексагональной формы, внутри которых жидкость поднимается по центру и опускается по граням ячейки. Такая постановка эксперимента исторически была первой, однако здесь на самом деле наблюдается конвекция Марангони, возникающая за счёт действия сил поверхностного натяжения и зависимости их от температуры жидкости.

Аналитическое решение задачи (задача Рэлея)

Важным в задаче о конвекции в плоском слое является тот факт, что для записи её в приближении Буссинеска возможно получить точное аналитическое решение уравнений гидродинамики. Правда, простое точное решение удаётся найти лишь при абстрактной постановке с двумя свободными недеформируемыми границами слоя (как сверху, так и снизу), более реалистичные варианты таких решений не имеют (но для них хорошо работают приближённые аналитические методы, например метод Галёркина).

Приведём здесь решение задачи,. Примем, что ось z направлена вверх, перпендикулярно слою, оси x и y параллельны границе. Начало координат удобно выбрать на нижней границе слоя. Исходные уравнения конвекции:

$\frac{\partial \vec{v} }{\partial t} + (\vec v \cdot \nabla)\vec v = - \frac{1}{\rho_0} \nabla p + \nu \Delta \vec v - \beta T \vec g,$

$\frac{\partial T}{\partial t} + \vec v \cdot \nabla T = \chi \Delta T,$

$\operatorname{div} \vec v = 0.$

Безразмерная форма уравнений конвекции для малых возмущений равновесия, в предположении экспоненциального роста возмущений во времени (т. н. «Нормальные» возмущения) в $\vec v, \theta \sim e^{\lambda t}$:

$\frac{ \lambda }{Pr} \vec v = - \nabla p + \Delta \vec v + Ra \theta \vec e_z,$

$\lambda \theta = \Delta \theta + \vec v \cdot \vec e_z,$

$\operatorname{div} \vec v = 0,$

где $\vec e_z$ в единичный вектор оси z, $Pr, Ra$ в соответственно число Прандтля и число Рэлея, $\lambda$ в инкремент (скорость роста) возмущений. После обезразмеривания переменная z изменяется от 0 до 1. Т. н. «Нормальные» возмущения являются частными решениями линейной системы дифференциальных уравнений, и поэтому находят широкое применение при исследовании задач в самых различных областях.

Постановка граничных условий производится в предположении, что обе границы недеформируемые, но свободные в при этом отсутствуют касательные напряжения в жидкости. Граничные условия:

$\vec v \cdot \vec e_z = 0$, в недеформируемость границ.

$\sigma_{xz} = \sigma_{yz} = 0$, в отсутствие касательных напряжений. Так как считаем, что работаем с жидкостью, для которой справедливо уравнение Навье в Стокса, то можем явно записать вид тензора вязких напряжений и получить граничные условия для компонент скорости.

$\sigma_{ij}=\eta \left( \frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i} \right)$ в закон Навье,

Принимая обозначения для компонент скорости: $\vec v = \left\{ u,v,w \right\}$, перепишем гран.условие для касательных напряжений в терминах скорости:

$\frac{ \partial u}{ \partial z} = 0,$

$\frac{ \partial v}{ \partial z} = 0$.

Для возмущений температуры на границе принимается нулевое значение. В итоге, система гран.условий задачи такова:

$z=0,1:$

$w=0; \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial v}{\partial z} = 0; \theta = 0$

Теперь, предполагая возмущения нормальными по пространству в $\vec v, p, \theta \sim e^{\lambda t} e^{i \vec k \cdot \vec r}$ (здесь $\vec k$ в волновой вектор возмущения, параллельный плоскости $xy$) и заменяя операторы дифференцирования в $\Delta = \frac{\partial^2}{\partial z^2} - k^2, \nabla = \left\{ i \vec k; \frac{\partial}{\partial z} \right\}$, можем переписать систему уравнений конвекции в виде системы ОДУ:

$\frac{ \lambda }{Pr} \vec v = - \nabla p + \Delta \vec v + Ra \theta \vec e_z,$

$\lambda \theta = \Delta \theta + w,$

$\operatorname{div} \vec v = 0.$

Взяв двойной ротор от первого уравнения и спроектировав его на ось z, получим окончательную систему уравнений для возмущений:

$\frac{\lambda}{Pr} \Delta w = \Delta^2 w + k^2 Ra \theta,$

$\lambda \theta = \Delta \theta + w.$

Исходя из граничных условий, а также из того, что все производные в системе чётного порядка, удобно представить решение в виде тригонометрических функций:

$w = a \sin n \pi z,$

$\theta = b \sin n \pi z,$

где n в целое число. Решение в виде синусов удовлетворяет сразу всем граничным условиям.

Типичная нейтральная кривая для задачи конвекции в плоском слое

Далее, обозначая $D = n^2 \pi^2 + k^2$, и подставляя предполагаемый вид решения в уравнения, получим линейную однородную алгебраическую систему для a, b. Из её определителя можно выразить зависимость $Ra(\lambda)$:

$Ra(\lambda) = \frac{1}{Pr k^2} \left( D \lambda^2 + D^2 (1 + Pr) \lambda + Pr D^3 \right)$

Полагая здесь $\lambda = 0$ в граница монотонной устойчивости, невозрастание нормальных возмущений в получим формулу для определения критического числа Рэлея n-ой моды возмущений:

$Ra^* = \frac{(k^2 + n^2 \pi^2)^3}{k^2}.$

Наименьшее число Рэлея получится при $n=1$. Минимум зависимости, как несложно убедиться, приходится на $k = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$, а само минимальное число Рэлея равно $Ra^* = \frac{27}{4} \pi^4 \approx 657$. В соответствии с критическим волновым числом в слое возникают структуры в виде валов ширины $\sqrt{2}$ (в безразмерных единицах).

Для задач с другими вариантами границ критическое число Рэлея оказывается выше. К примеру, для слоя с двумя твёрдыми границами оно равно 1708, для слоя с твёрдой верхней и свободной нижней границами в 1156, меняются и критические волновые числа. Однако качественно картина конвективных валов не изменяется.

Литература

• L.E.Scriven & C.V.Sternling «Эффекты Марангони»

См. также

• Самоорганизация
• Конвекция
• Приближение Буссинеска

Ссылки

• Альбом течений жидкости и газа. ИМ МГУ