p-адическое число

Для заданного фиксированного простого числа p p-ади́ческое число (произносится: пэ-адическое; соответственно: два-адическое, три-адическое и т.п.) в элемент расширения поля рациональных чисел, являющегося пополнением поля рациональных чисел относительно p-адической нормы, определяемой на основе свойств делимости целых чисел на р.

p-адические числа были введены Гензелем (нем.) в 1897 году^[1].

Поле p-адических чисел обычно обозначается $\mathbb Q_p$ или $\mathbf Q_p$ .

Содержание

1 Алгебраическое построение
- 1.1 Целые p-адические числа
- 1.2 p-адические числа
  - 1.2.1 Определение как поля частных
  - 1.2.2 Свойства
2 Метрическое построение
3 Свойства
4 Применения
5 Литература
6 Ссылки

[править] Алгебраическое построение

[править] Целые p-адические числа

[править] Стандартное определение

Целым p-адическим числом для заданного простого p называется бесконечная последовательность $x=\{x_1,x_2,\ldots\}$ вычетов $x_n$ по модулю $p^{n}$ , удовлетворяющих условию:

$x_n\equiv x_{n+1}\pmod{p^n}.$

Сложение и умножение целых p-адических чисел определяется как почленное сложение и умножение таких последовательностей. Для них непосредственно проверяются все аксиомы кольца.

[править] Определение через проективный предел

В терминах проективных пределов кольцо целых $p$ -адических чисел определяется как предел

$\lim_{\leftarrow}\Bbb{Z} / {p^n}\Bbb{Z}$

колец $\Bbb{Z} / {p^n}\Bbb{Z}$ вычетов по модулю $p^n$ относительно естественных проекций $\Bbb{Z}/{p^{n+1}}\Bbb{Z} \to \Bbb{Z}/{p^n}\Bbb{Z}$ .

Эти рассмотрения можно провести в случае не только простого числа $p$ , но и любого составного числа $m$ в получится т. н. кольцо $m$ -адических чисел, но это кольцо в отличие от $\Bbb{Z}_p$ обладает делителями нуля, поэтому дальнейшие построения, рассматриваемые ниже, к нему неприменимы.

[править] Свойства

Кольцо целых p-адических чисел обычно обозначается $\Bbb{Z}_p$ . Обычные целые числа вкладываются в $\Bbb{Z}_p$ очевидным образом: $x=\{x,x,\ldots\}$ и являются подкольцом.

Пример выполнения арифметических операций над 5-адическими числами.

Беря в качестве элемента класса вычетов число $a_n = x_n\,\bmod\,{p^n}$ (таким образом, $0\le a_n<p^n$ ), мы можем записать каждое целое p-адическое число в виде $x=\{a_1,a_2,\ldots\}$ однозначным образом. Такое представление называется каноническим. Записывая каждое a_n в p-ичной системе счисления $a_n=b_n\ldots b_2b_1$ и, учитывая, что $a_n\equiv a_{n+1}\pmod{p^n},$ мы можем всякое p-адическое число в каноническом виде представить в виде $x=\{b_1, b_2b_1, b_3b_2b_1,\ldots\}$ или записать в виде бесконечной последовательности цифр в p-ичной системе счисления $x=\{\ldots b_n\ldots b_2b_1\}$ . Действия над такими последовательностями производятся по обыкновенными правилами сложения, вычитания и умножения «столбиком» в p-ичной системе счисления.

В такой форме записи натуральным числам и нулю соответствуют p-адические числа с конечным числом ненулевых цифр, совпадающих с цифрами исходного числа. Отрицательным числам соответствуют p-адические числа с бесконечным числом ненулевых цифр, например в пятеричной системе в1=в4444=(4).

[править] p-адические числа

[править] Определение как поля частных

p-адическим числом называется элемент поля частных $\Bbb{Q}_p$ кольца $\Bbb{Z}_p$ целых p-адических чисел. Это поле называется полем p-адических чисел.

[править] Свойства

Поле p-адических чисел содержит в себе поле рациональных чисел.

Пример выполнения деления 5-адических чисел.

Нетрудно доказать, что любое целое p-адическое число некратное p обратимо в кольце $\Bbb{Z}_p$ , а кратное p однозначно записывается в виде $xp^n$ , где x не кратно p и поэтому обратимо, а $n>0$ . Поэтому любой ненулевой элемент поля $\Bbb{Q}_p$ может быть записан в виде $xp^n$ , где x не кратно p, а n любое; если n отрицательно, то, исходя из представления целых p-адических чисел в виде последовательности цифр в p-ичной системе счисления, мы можем записать такое p-адическое число в виде последовательности $x=\{\ldots b_k\ldots b_2b_1,b_0b_{-1}\ldots b_{n+1}\}$ , то есть, формально представить в виде p-ичной дроби с конечным числом цифр после запятой и, возможно, бесконечным числом ненулевых цифр до запятой. Деление таких чисел можно также производить аналогично «школьному» правилу, но начиная с младших, а не старших разрядов числа.

[править] Метрическое построение

Любое рациональное число $r$ можно представить как $r=p^n\frac ab$ где $a$ и $b$ целые числа, не делящиеся на $p$ , а $n$ в целое. Тогда $|r|_p$ в $p$ -адическая норма $r$ в определяется как $p^{-n}$ . Если $r=0$ , то $|r|_p=0$ .

Поле $p$ -адических чисел есть пополнение поля рациональных чисел с метрикой $d_p$ , определённой $p$ -адической нормой: $d_p(x,y)=|x-y|_p$ . Это построение аналогично построению поля вещественных чисел как пополнения поля рациональных чисел при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной.

Норма $|r|_p$ продолжается по непрерывности до нормы на $\Bbb{Q}_p$ .

[править] Свойства

Каждый элемент x поля p-адических чисел может быть представлен в виде сходящегося ряда

$x=\sum_{i=n_0}^\infty a_ip^i$

где $n_0$ в некоторое целое число, а $a_i$ в целые неотрицательные числа, не превосходящие $p-1$ . А именно, в качестве $a_i$ здесь выступают цифры из записи x в системе счисления с основанием p. Такая сумма всегда сходится в метрике $d_p$ к самому $x$ .

p-адическая норма $|x|_p$ удовлетворяет сильному неравенству треугольника

$|x-z|_p\le\max\{|x-y|_p,|y-z|_p\}.$

Числа $x\in \mathbb Q_p$ с условием $|x|_p\le 1$ образуют кольцо $\Bbb{Z}_p$ целых p-адических чисел, являющееся пополнением кольца целых чисел $\Bbb{Z}\subset \Bbb{Q}$ в норме $|x|_p$ .
Числа $x\in \Bbb{Q}_p$ с условием $|x|_p= 1$ образуют мультипликативную группу и называются p-адическими единицами.
Совокупность чисел $x\in \Bbb{Q}_p$ с условием $|x|_p<1$ является главным идеалом в $\Bbb{Z}_p$ с образующим элементом p.

метрическое пространство $(\Bbb{Q}_p,d_p)$ гомеоморфно Канторову множеству, а пространство $(\Bbb{Q}_p,d_p)$ гомеоморфно Канторову множеству с вырезанной точкой.
Для различных p нормы $|x|_p$ независимы, а поля $\Bbb{Q}_p$ неизоморфны.
Для любых элементов $r_\infty$ , $r_2$ , $r_3$ , $r_5$ , $r_7$ , в таких, что $r_\infty \in \Bbb R$ и $r_p\in \Bbb Q_p$ , можно найти последовательность рациональных чисел $x_n$ таких, что для любого p $|x_i-r_p|_p\to 0$ и $|x_i-r_\infty|\to 0$ .

[править] Применения

Если $F(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ в многочлен с целыми коэффициентами, то разрешимость при всех k сравнения

$F(x_1,x_2,\cdots,x_n)\equiv 0 \pmod{p^k}$

эквивалентна разрешимости уравнения

$F(x_1,x_2,\cdots,x_n) = 0$

в целых p-адических числах. Необходимым условием разрешимости этого уравнения в целых или рациональных числах является его разрешимость в кольцах или, соответственно, полях p-адических чисел при всех p, а также в поле вещественных чисел. Для некоторых классов многочленов (например, для квадратичных форм) это условие является также достаточным.

На практике для проверки разрешимости уравнения в целых p-адических числах достаточно проверить разрешимость указанного сравнения для определенного конечного числа значений k. Например, согласно лемме Гензеля (англ.), при $n=1$ достаточным условием для разрешимости сравнения при всех натуральных k служит наличие простого решения у сравнения по модулю p (то есть, простого корня у соответствующего уравнения в поле вычетов по модулю p). Иначе говоря, при $n=1$ для проверки наличия корня у уравнения в целых p-адических числах, как правило, достаточно решить соответствующее сравнение при $k=1$ .

[править] Литература

Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел, в М.: Наука, 1985.
Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции, в М.: Мир, 1982.
Серр Ж.-П. Курс арифметики, в М.: Мир, 1972.
Б. Беккер, С. Востоков, Ю. Ионин 2-адические числа // Квант. в 1979. в Т. 2. в С. 26в31.
p-адические числа для «чайников»

[править] Ссылки

в‘ Kurt Hensel Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. в 1897. в Т. 6. в в„– 3. в С. 83в88. (нем.)

[0] в‘ Kurt Hensel Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. в 1897. в Т. 6. в в„– 3. в С. 83в88. (нем.)

[1]

Числовые системы
Счётные множества	Натуральные числа ( $\scriptstyle\mathbb{N}$ ) Целые ( $\scriptstyle\mathbb{Z}$ ) Рациональные ( $\scriptstyle\mathbb{Q}$ ) Алгебраические ( $\scriptstyle\overline{\mathbb{Q}}$ ) Периоды Вычислимые Арифметические
Вещественные числа и их расширения	Вещественные ( $\scriptstyle\mathbb{R}$ ) Комплексные ( $\scriptstyle\mathbb{C}$ ) Кватернионы ( $\scriptstyle\mathbb{H}$ ) Числа Кэли (октавы, октонионы) ( $\scriptstyle\mathbb{O}$ ) Седенионы ( $\scriptstyle\mathbb{S}$ ) Альтернионы Процедура Кэли в Диксона Дуальные Гиперкомплексные Суперреальные Гиперреальные Surreal number (англ.)
Другие числовые системы	Кардинальные числа Порядковые числа (трансфинитные, ординал) p-адические Супернатуральные числа
См. также	Двойные числа Иррациональные числа Трансцендентные Числовой луч Бикватернион

p-адическое число

Содержание

[править] Алгебраическое построение

[править] Целые p-адические числа

[править] Стандартное определение

[править] Определение через проективный предел

[править] Свойства

[править] p-адические числа

[править] Определение как поля частных

[править] Свойства

[править] Метрическое построение

[править] Свойства

[править] Применения

[править] Литература

[править] Ссылки

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках